波动方程的应用：海洋中的声传播理论 潘宇航 14010006025 杨诚诚 14010006035
波动方程或称波方程(wave equations）由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
本篇论文将从声传播理论出发来了解波动方程在海洋科学中的应用。 首先利用一幅图来介绍声场常用分析方法。
波动理论（简正波方法）是研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。在封闭空间或半关闭空间，反射波的互相干涉要形成一系列的固有振动，称之为简正波。简正方式理论是引用量子力学中本征值的概念并加以发展而形成的。
本篇论文将从介绍波动方程和两种基础生场中的简正波两部分来讨论。 １波动方程
１．１在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：
１．２引入新变量：
１．３考虑简谐波，则有：
备注：φ不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。
１．４在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有：
＊如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有：
1.5定解条件
定解条件就是满足物理问题的具体条件 1.5.1边界条件
边界条件是物理量在介质边界上必须满足的条件 1.5.1.1绝对软边界条件
假定声压为零为绝对软边界条件，可设 界面方程： 界面声压：
此时此条件为第一类齐次边界条件 如果已知边界面上的压力分布，则有：此条件为第一类非齐次边界条件 1.5.1.2绝对硬边界条件
假定法向质点振速为零为绝对硬边界条件 此时界面方程：
界面声压：
此为第二类齐次边界条件
如果已知边界面上的质点振速分布，则有：此为第二类非齐次边界条件 1.5.1.3混合边界条件
此时条件为压力和振速线性组合
形式如此式：
若a为常数，则为第三类边界条件 若f?s??0，则为阻抗边界条件：
1.5.1.4边界上密度或声速有限间断
边界上压力和法向质点振速连续，可表示如下式:
若压力不连续，质量加速度趋于无穷；若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。 1.5.2辐射条件
无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。 1.5.2.1平面波情况
1.5.2.2柱面波情况
1.5.2.3球面波情况
*这种条件也称之为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。 1.5.3奇性条件
对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即
不满足波动方
程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程根据狄拉克函数的定义，
下列将证明非齐次波动方程正确性 证：
简谐球面波有：体积积分后为：利用高斯定理：
证明左端＝右端，证毕。
1.5.4初始条件
当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。 2. 波动声学
2.1、硬底均匀浅海声场
硬底均匀浅海声场的波导模型为上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平整。
2.1.1简正波
由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足波动方程：
???p??2p2 1??r??kp??4?A?r?r??00???z2 r?r??r?在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：
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