专题2.8 函数与方程
【真题回放】
1．【2017课标3理11】已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a=（ ）
A．?1 2 B．
13 C．
1 2 D．1
【答案】C
【考点解读】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性、数形结合能力及化归思想和分
类讨论的思想等，属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1﹣（x﹣1）的图象与y?a(ex?12
?1ex?1)的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情
况，结合函数的单调性分析可得结论．
2.【2017山东理10】已知当x?0,1时，函数y??mx?1?的图象与y?且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
??2x?m的图象有
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（A）?0,1?（C）0,2??23,?? （B）?0,1???23,?? （D）0,2?????3,???
?????3,???
【答案】B
【解析】当0?m?1时，
1?1 ，y?(mx?1)2 单调递减，且y?(mx?1)2?[(m?1)2,1]， m且y?x?m?[m,1?m] ，此时有且仅有一个交点；当m?1y?x?m单调递增，时，0?11?1 ，y?(mx?1)2在[,1] 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，mm需(m?1)2?1?m?m?3 选B.
【考点解读】本题考查了函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用。注意对分类思想的运用。
3.【2017高考江苏理14】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间??0,1?上，
ì?x2,x?D?f(x)=í???x,x?D xx=其中集合D=镲睚禳镲镲镲铪n-1,n?N+，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 . n【答案】8
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【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对
知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读）
考点分析
考点 函数的零点 二分法 函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用。这部分内容要求学生掌握零点的概念（三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间，判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用。
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了解A A 掌握B B 灵活运用C 融会贯通
题型一 确定函数零点所在的区间
典例1. （1）(2017海口中学高一期末) 方程log5x?x?2?0的根所在的区间是（ ）
A. ?2,3? B. ?1,2? C. ?3,4? D.
?0,1?
【答案】B
【解析】设f?x??log5x?x?2，方程log5x?x?2?0的根就是函数f?x??log5x?x?2的零点，
因为f?x??log5x?x?2是单调递增函数，且f?1???2?0， f?2??log52?0，
所以
函数f?x??log5x?x?2的零点所在区间是?1,2?，因此方程log5x?x?2?0的根
所在区
间是?1,2?，故选B.
（2）(2017福州模拟)若a 两个零点分别位于 区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 【答案】 A 【解析】∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－ B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 c)， f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． （3）（2017银川一中模拟）已知实数a,b满足2?3,3?2，则函数f?x??a?x?b的零 abx点所在的区间是（ ） A. ??2,?1? B. ??1,0? C. ?0,1? D. ?1,2? 【答案】B - 4 - （4）（2017兰州模拟）已知函数f(x)?4x?2x?1?a没有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. a??1 B. a?0 C. a?0 D. a??1 【答案】A 【解析】设t?2x(t?0) ，则原函数可化为y?t2?2t?a?(t?1)2?1?a??1?a?a??1 解题技巧与方法总结 确定函数零点所在区间的方法 1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． 2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否 有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式训练】 ?1?x－23 （1）(2017嘉兴模拟)设函数y＝x与y＝??的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)， ?2? n∈N，则x0 所在的区间是________． 【答案】 (1,2) ?1?x－233 【解析】 设f(x)＝x－??，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x与 ?2? y＝??x－2的图象，如图所示． 2 ?1??? - 5 -