?1?－1?1?0
因为f(1)＝1－??＝－1<0，f(2)＝8－??＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1,2)．
?2??2?
（2）（2017哈尔滨模拟）已知e是自然对数的底数，函数f?x??e?x?2的零点为a，函
x数g?x??lnx?x?2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A. a?1?b B. a?b?1 C. 1?a?b D. b?1?a 【答案】A
（3）（2017兰州模拟）已知x1， x2是方程eA. 0?x1x2??x?2?lnx的两个解，则（ ）
11 B. ?x1x2?1 C. 1?x1x2?e D. eex1x2?e
【答案】B
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知识链接：
知识点1 函数的零点
1．函数零点的定义；
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．三个等价关系；
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 3．函数零点的判定(零点存在性定理)；
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就
是方程f(x)＝0
的根．
题型二 确定函数零点的个数
1
典例2. （1） (2016济南模拟)已知函数f(x)＝cos x－logx，则f(x)在其定义域上零点
10的个数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C
11
【解析】令f(x)＝0，得cos x＝logx，画出函数y＝cos x和y＝log x的图象，
1010
如图所示：
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?π??π3π?显然函数在?0，?有1个交点，在?，?有2个交点，
2?2???2
11
∵cos 3π＝－1，log3π＝－lg 3π>－1，函数y＝logx在(0，＋∞)上递减，
1010∴两个函数在?
?5π，7π?有2个交点，共5个交点，故选C. ?2??2
?x?1,x?0（2）(2017石家庄一中高一期末)已知函数f(x)??，则函数y=f[f（x）]﹣1
logx,x?0?2的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C
【解析】当x≤0时，y=f[f（x）]﹣1=x+1+1﹣1=0，解得x=﹣1，当0＜x≤1时，y=f[f（x）]
﹣1=log2x+1﹣1=0，解得x=1，当x＞1时，y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，解得x=4，综上所述函数的零点的个数为3个，故选：C
（3）（2017衡水金卷）设定义在区间[﹣k，k]上的函数f(x)?lg1?mx是奇函数，且1?x11f(?)?f()，若[x]表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，
22则[x0]=（ ）
A．1 B．1或2 【答案】C
C．2 D．3
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1，x＞0，??
(4)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)＝?0，x＝0，
??－1，x＜0，－ln x的零点个数为________． 【答案】3
1，x＞1，??
【解析】sgn(ln x)＝?0，x＝1，
??－1，0＜x＜1，1
个，分别为；e, 1， .
e解题技巧与方法总结
判断函数零点个数的方法
则函数f(x)＝sgn(ln x)
故函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点有3
1．解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练】
（1）（2017甘肃天水一中高一期末）函数f?x??xe?x?2的零点的个数为（ ）
xA. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C
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两个函数的图像有两个交点，即函数f?x??xe?x?2有两个零点，应选答案C。
x?x－2，x≤0，?
（2）(2017三明高三检测)函数f(x)＝?
??2x－6＋ln x，x>0
2
的零点个数是________．
【答案】 2
【解析】当x≤0时，令x－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．
1
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)
2
x＝－2＋ln 2<0，
f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的
零点个数为2.
（3）（2017石家庄一中模拟）已知函数y?f?x?的周期为2,当x?0，2时,
??f?x???x?1?,如果
2g?x??f?x??log5x?1，则函数的所有零点之和为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】A
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