?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12
（1）将x?①②③④
①－②得
?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．
由题意知x1?x2，则上式两端同除以x1?x2，有
?x1?x2?2?y1?y2?y1?y2?0，
x1?x2y?y2将③④代入得x?2y1?0．⑤
x1?x211y?y21，y?代入⑤，得1故所求直线方程为： 2x?4y?3?0． ⑥ ??，22x1?x222将⑥代入椭圆方程x2?2y2?2得6y?6y?11?0，??36?4?6??0符合题意，442x?4y?3?0为所求．
（2）将
y1?y2（椭圆内部分） ?2代入⑤得所求轨迹方程为： x?4y?0．
x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为： x2?2y2?2x?2y?0．（椭圆内?x1?x2x?2（3）将部分）
2x12?x22?y12?y2?2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：
2??22x12?x2?4x2?2x1x2， ⑧， y12?y2?4y2?2y1y2， ⑨
4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：
4??再将y1y2??1?1?x1x2代入⑩式得： 2x2?x1x2?4y2?2??x1x2??2， 即 2?2?y2?1． x?122此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
22例8 已知椭圆4x?y?1及直线y?x?m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
210，求直线的方程． 5解：（1）把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x2?y2?1得 4x2??x?m??1，
2即5x?2mx?m?1?0．???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得
222???55． ?m?222mm2?1（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，由（1）得x1?x2??，x1x2?． x2，
55m2?1210?2m?2?根据弦长公式得 ：1?1???．解得m?0．方程为??4?555??y?x．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
2x2y2??1的焦点为焦点，过直线l：x?y?9?0上一点M作椭圆，要使所例9 以椭圆
123作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
x2y2??1的焦点为F1??3，解：如图所示，椭圆0?，F2?3，0?． 123点F1关于直线l：x?y?9?0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为
x?2y?3?0．
?x?2y?3?0解方程组?得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1?MF2最小．
x?y?9?0?所求椭圆的长轴：2a?MF1?MF2?FF2?65，∴a?35，又c?3，
x2y2??1． ∴b?a?c?35?3?36．因此，所求椭圆的方程为
4536222??22x2y2???1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程
k?53?k?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k?5，且k?4．
?k?5?0,说明：本题易出现如下错解：由?得3?k?5，故k的取值范围是3?k?5．
3?k?0,?出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a?b?0这个条件，当a?b时，并不表示
椭圆．
例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，求?的取值范
围．
分析：依据已知条件确定?的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出?的取值范围．
x2y211??0． ??1．因为焦点在y轴上，所以?解：方程可化为
11cos?sin?sin?cos?因此sin??0且tan???1从而??(
?3,?)． 2411?0，??0，这是容易忽视的地方． sin?cos?1122(2)由焦点在y轴上，知a??，b?． (3)求?的取值范围时，应注意题目
cos?sin?中的条件0????．
说明：(1)由椭圆的标准方程知
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,?2)和B(?23,1)两点的椭圆方程
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
22可设其方程为mx?ny?1(m?0，n?0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，
直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2?ny2?1(m?0，n?0)．由A(3,?2)和B(?23,1)两点在椭圆上可得
22?11?m?(3)?n?(?2)?1,?3m?4n?1,即?所以m?，n?．故所求的椭圆方程为?2215512m?n?1,???m?(?23)?n?1?1,x2y2??1． 155
例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
分析：可以利用弦长公式AB?1?kx1?x2?2?3(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
b?3，AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]．因为a?6，所以c?33．因
为焦点在x轴上，
x2y2??1，左焦点F(?33,0)，从而直线方程为y?3x?9． 所以椭圆方程为
369由直线方程与椭圆方程联立得：13x?723x?36?8?0．设x1，x2为方程两根，所以
2x1?x2??72313，
x1x2?36?813，
k?3， 从而
AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
48． 13x2y2??1，设AF由题意可知椭圆方程为1?m，BF1?n，则AF2?12?m，369BF2?12?n．
在
?AF1F2中，
AF2?AF1?F1F2?2AF1F1F2c222?o3s，
即
1(12?m)2?m2?36?3?2?m?63?；
2所以m?4866AB?m?n?．同理在?BF中，用余弦定理得，所以． n?F12134?34?3
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．
再根据焦半径AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，从而求出AB?AF1?BF1．
2x2y2??1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，例14 椭圆则ON（O为259坐标原点）的值为A．4 B．2 C．8 D．
解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆第一定义得3 2MF1?MF2?2a?10，所以 MF2?10?MF1?10?2?8， 又因为ON为?MF1F2的中位线，所以ON?
1MF2?4，故答案为A． 2说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1?MF2?2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭例15 已知椭圆C：?43圆C上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB?l；(2)