弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．
解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于
M(x0,y0)点．
y??x?n,1?4∵l的斜率kl?4，∴设直线AB的方程为y??x?n．由方程组?消去y得 ?4x2y2???1,?3?4?113x2?8nx?16n2?48?0 ①。∴x1?x2?8nx?x24n?．于是x0?1，
13213112ny0??x0?n?，
4134n12n4n,)．∵点M在直线y?4x?m上，∴n?4??m．解得即点M的坐标为(13131313n??m． ②
4将式②代入式①得13x?26mx?169m?48?0 ③
∵A，B是椭圆上的两点，∴??(26m)2?4?13(169m2?48)?0．解得
22?213213． ?m?131313413m，∴x0?(?m)??m， 4134113113y0??x0?m???(?m)?m??3m，即M点坐标为(?m,?3m)．
4444(法2)同解法1得出n??(?m)2(?3m)2??1．解得∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴
43?213213?m?． 1313(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
xyxy∵A，B在椭圆上，∴1?1?1，2?2?1．两式相减得
434322223(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，
即3?2x0(x1?x2)?4?2y0(y1?y2)?0．∴
3xy1?y2??0(x1?x2)．
x1?x24y0又∵直线AB?l，∴kAB?kl??1，∴?3x0?4??1，即y0?3x0 ①。 4y0又M点在直线l上，∴y0?4x0?m ②。由①，②得M点的坐标为(?m,?3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式??0，建立参数方程．
xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0?0?1，将x0，y0利用参数表
ab示，建立参数不等式．
例17 在面积为1的?PMN中，tanM?221，tanN??2，建立适当的坐标系，求出以M、2N为焦点且过P点的椭圆方程．
解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y)． ?y?x?c??2,?1?y?,?2?x?c?cy?1.?? 则5?x???3c∴??y?4c且c?3?2?3即P(523,2)3∴4?25??1,?21522??12a3b?a?,得?4 ?3?a2?b2?,?b2?3.??4?4x2y2??1 ∴所求椭圆方程为153x2y2??1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆
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