?1??010?0??x1??0??x?x??x??0??2??001?0?????2?????????????0?u （8-75） ??????
?????????x000?1x?n?1????n?1??????n??1???x????a0?a1?a2??an?1????xn??? y??b0b1b2?bn?1?x
如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的，且并不具有能控标准型的形式，则可用下面的方法将其化为能控标准型。
设系统的状态空间表达式为
x??Ax?buy?cx 若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换
x?Tcx ??10 Tn?1c??Ab??an?11An?2b?b?????a2a3???a1a2?an?1其中ai为系统特征多项式中对应项系数。 使其状态空间表达式（8-76）化为
x??Ax?buy?cx ??010?0??001?0?其中 A?T?1?cATc????????? ?000?1?????a0?a1?a2??an?1????0??0??? b?T?1cb??0? ??????1?? C?CTc??b0b1b2?bn?1?
[例8-10] 试将下列系统变换为能控标准型
??120??2?
x???3?11???x???1??u?020????1?? y??001?x解 （1）先判别系统的能控性
（8-76）
（8-77）
????? （8-78） ??? （8-79）
（8-80） （8-81）
（8-82）
315
1 M?b?Ab?2416??
A2b??168????1212???rankM?3，所以系统是能控的。
（2）计算系统的特征多项式 即a2?0,?I?A??3?9??2
a1??9,a0?2
则由式（8-78）可得 Tc?Ab?2?1Abb??a2??a1?01a20??1642??100???242??861??010????161? 0?????????1????1221?????901????321??根据式（8-80）、（8-81）及（8-82）可求得该系统的能控标准型为
?0???0x?
???2y??3210??0??0?u01?x???? ?90???1??1?x采用式（8-79）很容易写出系统的传递函数
b2s2?b1s?b0s2?2s?3 W(s)?3 ?32s?a2s?a1s?a0s?9s?22．能观标准型
当系统的传递函数如式（8-74），则可直接写出其能观标准型：
?1??0?x?x?2??1??? ?????0????x?n?1?????n??x???0 y??000?00?10????00?00??a0??x1??b0??x??b??a1???2??1??a2??????b2?u （8-83）
????????xn?1?????an?1????xn????bn?1??1?x
当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，且并不是能观标准型，同样可用下面的方法将其变换为能观标准型。
设系统的状态空间表达式为
??Ax?buxy?cx （8-84）
若系统是完全能观的，则存在线性非奇异变换
x?To~x （8-85）
To?1?1an?1?a2a1??CAn?1????n?2?1aa32???CA????????? （8-86）
?????aCAn?1??????01?????C?其中ai为系统特征多项式中对应项系数。
316
使其状态空间表达式（8-84）化为
~~~~??Axx?bu ~~y?cx?0?1?~?1其中 A?ToATo??0?????000?00?10????00??a0??a1???a2? （8-87）
????an?1???b0??b??1?~?1 b?Tob??b2? （8-88）
???????bn?1??~ C?CTo??000?1? （8-89）
第四节 对偶性原理
从前面的介绍中可以看出，能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的。
1．线性定常系统的对偶关系 设有两个系统，一个系统?1为
另一个系统?2为
?1?A1x1?B1u1xy1?c1x1
y2?c2x2若满足下列条件，则称?1与?2是互为对偶的。
TTT A2?A1,B2?C1,C2?B1 （8-90） 式中 x1,x2——n维状态矢量；
u1,u2——各为r维与m维控制矢量； y1,y2——各为m维与r维输出矢量； A1,A2——n?n系统矩阵；
B1,B2——各为n?r与n?m控制矩阵； C1,C2——各为n?m与n?r输出矩阵。
显然，?1是一个r维输入m维输出的n阶系统，其对偶系统?2是一个m维输入r维输出的n阶系统。图8-9是对偶系统?1和?2的结构图，从图中可以看出，互为对偶的两系
统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。
?2?A2x2?B2u2x
317
图8-9 对偶系统的模拟结构图 对于系统?1，其传递函数矩阵W1(s)为m?r矩阵 W1(s)?C1(sI?A1)?1B1 而系统?2，其传递函数矩阵W2(s)为r?m矩阵
TT?1T W2(s)?C2(sI?A2)?1B2?B1(sI?A1)C1
TT ?B1 [(sI?A1)?1]TC1?[C1(sI?A1)?1B1]T?W1(s) （8-91）
由此可知，对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。
此外，还应指出，互为对偶的系统，其特征方程式是相同的，即
T sI?A2?sI?A1T?sI?A1
2．对偶原理
系统?1?(A1,B1,C1)与?2?(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则?1的能控性等价于?2的能观性, ?1的能观性等价于?2的能观性。或者说，若?1是状态完全能控的（完全能观的），则?2是状态完全能观的（完全能控的）。
证明 对?2而言，能控性判别矩阵(n?nm) M2?B2?A2B2?A2n?1B2
?的秩为n，则系统?2状态是完全能控的。
将式（8-84）的关系代入上式，有
M2?C1TTTn?1TT A1C1?(A1)C1?N1说明?1的能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而说明?1为状态完全能观的。
TTTTTn?1T同理有 N2?C2A2C2?(A2)C2
?T??A1B1?A1B1?M1
即若系统?2的能观性判别矩阵N2(nm?n)满秩，为状态完全能观时，则系统?1的能控性判别矩阵M1亦满秩而为状态完全能控的。
第五节 线性定常系统的极点配置
在现代控制理论中，控制系统的基本结构仍然是由受控对象和反馈控制器两部分构成的闭环系统。除了采用输出反馈，更多地采用状态反馈，由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。它在形成最优控制规律，抑制或消除扰动影响，实现系统解耦控制诸方面获得了广泛的应用。
一、状态反馈与极点配置 1．状态反馈
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。图8-10是一个多输入-多输出系统状态反馈的基本结构。
?B1?n?1?? 318
图8-10 状态反馈系统的结构图
图中受控系统的状态空间表达式为
??Ax?Buxy?Cx其中x为n维状态矢量，u为r控制矢量。A,B,C分别为n?n,n?r,m?n维矩阵。
状态线性反馈控制律u为 u?Kx?v （8-93） 其中v──r?1维参考输入；
K──r?n维状态反馈增益阵。对单输入系统，K为1?n维行矢量。
将式(8-93)代入式(8-92 )整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式
（8-92）
??(A?BK)x?Bvx
y?Cx (8-94)
比较式(8-94)和式(8-92)可知，状态反馈增益阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
2．极点配置问题
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。
可以证明状态反馈不改变系统能控性，因此可以利用状态反馈，很好地解决极点配置问题。对于单输入──单输出系统，采用状态反馈对受控系统任意配置极点的充要条件是受控系统状态完全能控。
若?0?(A,b,c)完全能控，通过状态反馈必成立
det[?I?(A?bK)]?f?(?) （8-95） 式中f?(?)——期望特征多项式。 f(?)?式中??,i(i?1?n?(???)???ii?1n?n?1?? （8-96） ?an???a1??a0?1?。 2,?,n)——期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）
（1） 若?0完全能控，必存在非奇异变换 x?Tcx 式中Tc——能控标准型变换矩阵。
能将?0化成能控标准型
??Ax?bux
y?Cx （8-97）
其中
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