1?00??0?0?0?00???1? ? A?TcATc????00?01?????a0?a1??an?2?an?1???0??0????1 b?Tcb????
??0????1?? C?CTc??b0b1b2?bn?1? 受控系统的传递函数为
W0(s)?C(sI?A)?1b?C(sI?A)?1b
bn?1 ?n?1s?bn?2sn?2?????b1s?b0sn?an?1?a n?1s?????a1s0（2） 加入状态反馈增益阵 K??k0k1?kn?1? 可求得对x的闭环状态空间表达式 x?
?(A?bK)x?bvy?Cx ??010?0??001?0??式中 A?bK?????? ?000?1?????(a0?k0)?(a1?k1)???(an?1?kn?1)??闭环特征多项式为
f(?)??I?(A?bK)
??n?(a?1n?1?kn?1)?n???(a1?k1)??(a0?k0) 闭环传递函数为
Wk(s)?C[sI?(A?bK)]?1b
?bn?1n?1s?b?2n?2sn?????b1s?b0sn?(a?kn?1 n?1n?1)s?????(a1?k1)s?(a0?k0) 3） 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 f(?)?f?(?)
由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数 k?i?ai?ai(i?0,1,?,n?1) 于是得 K??a?0?a0a?a?1?a1?an?1?n?1? 4） 最后，把对应于x的K，通过如下变换，得到对应于状态x的K。 K?KT?1c
（8-98） 8-99）
8-100）
8-101） 8-102） （8-103）
（8-104）
（8-105） 320
（ （ （ （
这是由于u?v?Kx?v?KTc?1x的缘故
应当指出，当系统阶次较低（n?3）时，检验其能控性后，根据原系统的状态方程直接计算反馈增益阵K的代数方程还是比较简单的，无须将它化为能控标准型。但随着系统阶次的增高，直接计算K的方程将愈加复杂。此时不如先将其化成能控标准型
?c?(A,b,c)用式（8-103）直接求出在x下的K，然后再按式（8-105）把K变换为原状态x下的K。
[例8-11] 已知系统状态方程为
?010??0? x????0?11???x???0??u ?00?2????1??试设计状态反馈控制器，使闭环极点为?2,?1?j1。
解 （1）判别系统能控性 ???001? M??bAbA2b??01?3?
???1?24??显然，rankM?n，系统能控，可以采用状态反馈进行极点的任意配置。
（2）系统的特征多项式为
???10?det(?I?A)?det??0??1?1???3?3?2?2?
??00??2???即 a0?0,a1?2,a2?3
（3）根据给定的极点值，得期望特征多项式
f?(?)?(??2)(??1?j)(??1?j)??3?4?2?6??4
即 a?0?4,a?6,a?1?2?4 （4）根据式（5-12）可求得 k0??4,k1??4,k2??1
即 K???4?4?1?
（5）再来计算变换矩阵
?10000??100? T2?????1???c??AbAbb??a210??310?????310?
?a1a21????4?21????231???10 ??0??010??1? ?01???100并求出其逆 T?1???c??010
??11??0??从而，所要确定的反馈增益阵K为
321
K?KTc?1?100?????4?3?1?
???4?4?1??010????0?11??加入反馈阵K后，系统的结构图如图8-11所示
图8-11 例8-11 闭环系统结构图
由于该系统阶次较低，故可以直接计算K阵。
加入反馈阵K??k0k1k2?后，闭环系统的系数矩阵为
0??0??01???0??kA?bK??0?11????0??00?2????1??闭环系统的特征多项式为
f(?)?k1?0k2????0??k0??11?? k1?2?k2??10?I?(A?bK)??3?(3?k2)?2?(2?k1?k2)??(?k0)
与f?(?)对应相系数进行比较，可解得
K???4?3?1?
显见，结果与前面计算的相同。 二、 输出反馈与极点配置 输出反馈有两种形式：一为将输出量反馈至状态微分处；一为将输出量反馈至参考输入。下面均以单输入—单输出受控对象为例来讨论。
1．输出量反馈至状态微分处的系统结构图如图8-12所示
图8-12 输出量反馈至状态微分
设受控对象动态方程为 输出反馈系统动态方程为
??Ax?Buxy?Cx （8-106）
??(A?GC)x?Bux （8-107）
y?Cx式中G为n?1输出反馈阵。
可以证明，用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统能控。
322
为了根据期望闭环极点位置来设计输出反馈矩阵G的参数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式?I?(A?GC)相比较即可。需要指出的是，当系统阶次较低（n?3）时，检验其能观性后，根据f?(?)=f(?)?化成能观标准型?o?(A,b,c)，其中
?I?(A?GC)可直接计算
反馈增益阵G。但随着系统阶次的增高，直接计算G的方程将愈加复杂。此时不如先将其
?0?1??1 A?ToATo??0?????000?00?10????00??a0??a1???a2?
????an?1???b0??b??1??1 b?Tob??b2?
???????bn?1?? C?CTo??000?1?
此时加入反馈增益阵G??g0Tg1?gn?1?得闭环系统矩阵
?000?100? A?GC??010???????000则 f(?)??I?(A?GC)与f(?)比较后可得
gi?ai?ai??即 G?a0?a0???????n?(a0?g0)??(a1?g1)???(a2?g2)?
????(an?1?gn?1)???(an?1?gn?1)?n?1???(a1?g1)??(a0?g0)
?(i?0,1,?,n?1)
??a1?a1?an?1?an ?1??T再由G?ToG把G变换为原状态x下的G。
2．输出量反馈至参考输入的系统的结构图如图8-13所示
图8-13 输出量反馈至参考输入
其中 u?v?GC （8-108）
该输出反馈系统动态方程为
??(A?BhC)x?Bvx （8-109）
y?Cx 323
式中输出反馈阵h为r?1维。若令hC?K，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择h，可使特征值任意配置。由结构图变换原理可知，比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有输入量的各阶导数，于是h阵不是常数矩阵，这会给物理实现带来困难，因而其应用受到限制。可推论，当h是常数矩阵时，便不能任意配置极点。输出至参考输入的反馈不会改变受控系统的能控性和能观性。
第六节 状态观测器
当受控对象能控，利用状态反馈进行极点配置时，需用传感器来测量状态变量以便形成反馈。但传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易测得或不可测得，于是提出状态重构问题。具体地说，状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接
?(t)在一定的提法下等测量的变量如输入量和输出量作为它的输入信号，并使其输出信号x?(t)为x(t)的重构状态或估计状态，而称这个用以实现价于原系统的状态x(t)。通常，称x?(t)和x(t)间的等价性常采用渐近等价提法，即使状态重构的系统为状态观测器。一般，x得两者仅成立
?(t)?limx(t) limxt??t??表明状态重构问题含义的直观说明如图8-14所示。观测器也是一个线性定常系统。
图 8-14 状态重构问题的直观说明
当重构状态向量的维数等控系于受统状态向量的维数时，称为全维状态观测器，小于状态向量的维数时，称为降维状态观测器。显然，降维状态观测器在结构上要较全维状态观测器为简单。
1．全维状态观测器 考虑n阶线性定常系统
??Ax?Buxy?Cxx(0)?x0,t?0 （8-110）
其中，A,B,C分别为n?n,n?r,m?n维常数矩阵，状态x不能直接加以量测，输出y和
?(t)满足如输入u是可以利用的。所谓全维状态观测器，就是以y和u为输入，且其输出x下关系式
?(t)?limx(t) （8-111） limxt??t??的一个n维线性定常系统。全维状态观测器可按不同方法进行设计，下面介绍其中常用的一
种方法。
首先，根据已知的系数矩阵A,B,C，按和原系统相同的结构形式，复制出一个基本系
?之差值信号作为修正变量，并将其经增益矩统。然后，取原系统输出y和复制系统输出y阵G馈送到复制系统中积分器的输入端，而构成一个闭环系统，如图8-15（a）所示。
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