第6章 线性系统的校正方法
例1 单位负反馈最小相位系统校正前、后的开环对数幅频特性如图6-1所示。 1. 求串联校正装置的传递函数Gc(s)。
2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益K的值。
L(?)50-20-4020-20-20102000.10.412-403-40-60-60?G0图6-1
G
解:
1. 求串联校正装置的传递函数Gc(s)。 由图6-1知，校正前系统的开环传递函数为
G0(s)?K0sss(?1)(s?1)(?1)0.43
式中K0可由低频段求出
20lgK0?20 K0?10
校正后系统的开环传递函数为
sK(?1)2G(s)?
ssss(?1)(?1)(?1)0.41020由图6-1知，在??0.1时，开环对数幅值L(0.1)?50dB，即G(j0.1)?316.2,故
G(j0.1)?K?316.2 0.1K?31.62
根据G(s)?Gc(s)G0(s)，则有
ss3.162(s?1)(?1)(?1)G(s)23Gc(s)??
ssG0(s)s(?1)(?1)10202. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益K的值。 根据校正后系统的开环传递函数，其相频特性为
0.4210???运用三角公式tan?1??tan?1??tan?1并整理，得
1????G(j?)??90??tan?1??tan?1??tan?1??tan?1?20
2?0.15??22?11?1.25?1?0.005??G(j?)??90??tan
2?0.15?1??1?1.25?21?0.005?2当相角为?180?时，有
1?解得??12.3。此时幅值为
2?0.15???0 221?1.25?1?0.005?12.3)2G(j12.3)??0.418 12.312.312.3()()0.41031.6(即将开环增益增大1/0.418倍，系统处于临界稳定状态。根据频率稳定判据，当
0?K?31.6?1/0.418即0?K?75.6时，对数频率特性曲线不穿越?180?线，系统稳定。
例2 设系统结构图如图6-2所示。
R(s)?Ks(s?1)Y(s)
图6-2
要求系统在单位斜坡输入信号作用时，稳态误差ess≤0.1，开环系统截止频率?c≥4.4rad/s，相角裕度?≥45o，幅值裕度20lgh≥10dB。
解：
1. 先确定开环增益K。
Kv?limsG(s)?lims?s?0s?0K?K
s(s?1)ess?所以K≥10。取K?10。
11?≤0.1 KvK2. 作K?10时未校正系统的开环对数频率特性如图6-3中L0所示。
L(?)-20KLc10?c0?c-40-40?LL00o-90o-180o???0图6-3
由图列写直线方程
20lg?10?40lgc0 11?c0?3.16rad/s
?0?180??90??tan?1?c0?17.6?
3. 在未校正对数幅频特性上，取?c?4.4??m频率点处幅值为?10lga，以确定a值。
?40lg得a?3.75，取a?4。
4.410??10lga
那么 T?故校正环节的传递函数为
1?ma?14.4?4?0.114
Gc(s)?校正后系统的开环传递函数为：
1?aTs1?0.456s ?1?Ts1?0.114sG(s)?Gc(s)G0(s)?4. 验算。
10(0.456s?1)
s(s?1)(0.114s?1)显然，已校正系统的截止频率?c?4.4rad/s。 校正后系统的相角裕度为
??180??90??arctan?c?arctan0.456?c?arctan0.114?c?49.7??45?
幅值裕度20lgh?∞。全部性能指标均已满足。 例3 单位负反馈系统的开环传递函数为
G0(s)?500K
s(s ?1)采用超前校正，使校正后系统速度误差系数Kv?100/s，相角裕度?≥45o。 解：
系统的开环传递函数为
G0(s)?100K ss( ?1)51. 确定开环增益。
Kv?limsG0(s)?lims?s?0s?0100K?100K?100 ss( ?1)5K?1
绘制待校正系统的对数幅频如图6-4所示。
L(?)-2010005Lc?c0?c-40-40?L
L0图6-4
开环传递函数为
G0(s)??100???G0(j?)??100?????5?100 ss( ?1)5??5
?≥5
截止频率为 ?c0?500?22.4rad/s 相角裕度为
?0?180???G0(j?c0)?180??90??tan?10.2?c0?12.6??45?
设超前校正网络的传递函数为
Gc(s)?2. 确定需要补偿的相位超前角。
1?aTs 1?Ts?m????0?(5~10?)?45??12.6?7.6??40?
3. 计算a。
a?1?sin?m?4.6
1?sin?m4. 将未校正系统幅频曲线上幅值为?20lga??10lga处的频率作为校正后的截止频率?c，并令?c??m?1Ta，确定T值。
?10lga??40lg?c ?c0