第十四章 热力学基础
14-1 一定量的气体，吸收了1.71×10 3 J的热量，并保持在1.0×10 5 Pa的压强下膨胀，体积从1.0×10-2 m3增加到1.5×10-2 m3，问气体对外界作了多少功？它的内能改变了多少？
解： 气体等压膨胀过程中对外作功为：
W = P(V2-V1) = 5.0?102 J 其内能的改变为：
?E = Q-W = 1.21?103 J
14-2 2.0 mol的某种气体从热源吸收热量2.66×105 J，其内能增加了4.18×105 J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功还是外界对它作功？
解： 由热力学第一定律得气体所作的功为
W = Q-?E = -1.52?105J
负号表示外界对气体作功。
14-3 1mol范德瓦耳斯气体等温地由体积v1膨胀到v2的过程中对外作功多少？ 解： 由范德瓦耳斯方程可知
P=
RTa?2
Vm?bVm?RT?1V2?ba?1????pdV???dV?RTIn?a???? ?V?bV2?V?bVV12??1v1??v2等温过程中气体对外做的功为
A=
?V2V1若式中a=b=0，则A=RTIn
V2，即理想气体等温过程对外做功的表示式。 V1
14-4 压强为1.0×105 Pa，体积为1.0×10-3 m3的氧气自0℃加热到100℃，问：（1）若为等压过程，则系统需要吸收多少热量？对外作功多少？（2）若为等体过程又如何？
解： 查表知，氧气的定压摩尔热容Cp,m=29.44 JmolK，定体摩尔热容Cv,m=21.12J mol
-1 -1
-1
K。根据所给初态条件，求得氧气的物质的量为
-1
?=
m?P1V1/RT1?4.41?10?2mol M（1）等压过程
等压过程系统吸热
QP = ?Cp,m(T2-T1) = 129.8 J
等压过程系统作功
V2T2WP=?dW=?pdV?V1mRdT?36.6J ?MT1(2)等体过程
氧气吸热为
QV = ?E = ?Cv,m(T2-T1) = 93.1 J
而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为0。
14-5 如图所示，一定量的理想气体，开始在状态A，其压强为2.0×105 Pa，体积为2.0×10-3 m3，沿直线AB变化到状态B后，压强变为1.0×105 Pa，体积变为3.0×10-3 m3,求此过程中气体所作的功。
解： 气体作功的表达式为W=?pdv。功的数值就等于p—v图中过程曲线下所对应的面积
W ＝ SABCD =
0 1 P/(1.0×10 5Pa) A 2 1 DB C1BC?AD?CD=150J 2??2 3 V/(1.0×10 -3m3) 习题14-5图
14-6 一气缸内贮有10.0 mol的氦气，在将其压缩的过程中，外力作功209J，气体温度升高1K。计算气体内能的增量和所吸收的热量；若在压缩过程中系统的摩尔热容为常数，求其摩尔热容。
解： ?E=vCv,m?T=10.0?
3?8.31?1?124.7J 2Q=?E+W=124.7-209=-84.3J Cm=
Q?84.3???84.3Jmol-1K-1 v?T10?1负号表示物体温度升高，不仅不吸热，反而向外放热。
14-7 除非温度很低，许多物质的定压摩尔热容都可以用下式表示：Cp,m=a+2bT-cT-2式中a、b和c是常量，T是热力学温度，求：（1）在恒定压强下，1 mol物质的温度从T1升高到T2时需要的热量；(2)在温度T1和T2之间的平均摩尔热容；（3）对镁来说，若Cpm的单位为J mol-1 K-1,则a=25.7 J mol-1 K-1,b=3.13×10-3 J mol-1K-2，c=3.27×105 J mol-1 K-3，计算镁在300K时的摩尔热容量Cpm，以及在200K和400K之间Cpm的平均值。
解： （1）1mol物质从温度T1等压升温至T2时吸热为
·
·
·
T2Qp=?CpmdT =
T1T2T1??a?2bT?cT?dT?a?T?T??b?T?22122?T12?cT2?1?T1?1
???（2）在T1和T2间的平均摩尔热容为
Cp,m?Qp/?T2?T1??a?b?T2?T1??c/T1T2
（3）镁在T=300K时的定压摩尔热容为
Cp,m=a+2bT-cT-2=23.9Jmol-1k-1
镁在200和400K之间Cp,m的平均值为
?1?1Cp,m?a?b?T2?T1??c/T1T2?26.0JmolK
14-8 将压强为1.01×105 Pa、体积为1.0×10-4m3的氢气，经绝热压缩使体积变为2.0×10-5m3，求压缩过程中气体所作的功。（氢气的摩尔热容比?=1.41）
解： 设p、v分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由P1V1?=PV?得 P=P1V1?V-?
氢气绝热压缩作功为
W=?pdv=
?v2v1??V?γ?pγ?γ11??V2?P1V1VdV??V1???23.0J ??1?γ??V2????
14-9 如图所示，使1 mol氧气（1）由A等温的变到B；（2）由A等体的变到C，再由C等压地变到B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。（3）若一热机按路径ABCA进行循环，计算热机的效率。 P/(1.0×10 5Pa) 分析：从P—V图上可以看出，氧气在A?B 及A?C?B的两个过
A 程中所作的功是不同的，但内能是状态的函数，其变化值与过程无关，仅取2 决于始末两态，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而因初、末状态
1 B C 温度相同TA=TB，故?E=0，利用热力学第一定律Q=W+?E，可求出每一过程所吸收的热量 0 2 V/(2.0×10 -2m3) 1 习题14-9图 解： （1）沿AB作等温膨胀的过程中，系统作功
WAB =
mRTln?VB/VA??PAVAln?VB/VA??2.77?103J M而在等温过程中，氧气吸收的热量为
QAB=WAB=2.77?103J
（2）沿A到C再到B的过程中系统作功和吸热分别为 WACB = WAC+WCB = WCB = PC(VB-VC)＝2.0?103J QACB = WACB = 2.0?103J （3）热机的效率 ??WAB?WBCWWAB?WBC???10% Q1QAB?QCAQAB?Cvm(TA-TC)
14-10 一卡诺热机的低温热源温度为27℃，效率为30％。（1）若要将其效率提高到50％，高温热源的温度需提高多少开？（2）若保持高温热源的温度不变，将其效率也提高到50％，低温热源的温度应为多少开？分析一下哪种情况更易实现。
(1)已知?=30? ，T2=273+27=300K
根据公式?=1-
T2，可得： T1T2?429K
1?0.3 T1=
当?＝50?时，设高温热源温度提高为?T1，则有
0.5 =1-
300
429?ΔT1得： ?T1=171K，即高温热源的温度需提高171开。
（2）设此时高温热源温度为T2’，则
T2'0.5=1- 429易得 T2’=214K
由于升高高温热源T1的温度较降低低温热源的温度T2更方便，更省功，则前一种情况更易实现。
14-11 一定量的理想气体经图示循环，试完成下表：
过 程 内能增量ΔE/J 作功W/J 吸收热量Q/J P AB BC CD DA ABCDA -100 50 50 -150 0 A 等温 B 绝热 D C 习题14-11图 V 循环效率η= 解： 本循环由四个特殊过程组成，等温过程?E=0，绝热过程Q=0，等体过程W=0，整个循环内能变化?E=0，再根据热力学第一定律，完成后的表格为：
过 程 内能增量ΔE/J 作功W/J 吸收热量Q/J AB BC CD DA ABCDA 0 -50 -100 150 50 50 -50 0 50 0 -150 150 循环效率η=25％
14-12 以理想气体为工质的热机，经历由两个等压过程和两个绝热过程构成的图示循环。已知B点温度TB＝T1,C点温度Tc＝T2，（1）证明该热机的效率为η＝1-T2/T1，(2)整个循环中最低温度是T2吗？
分析： 首先分析判断循环中各过程的吸热、放热情况。BC和DA是绝热过程，故QBC、QDA均为零；而AB为等压膨胀过程，系统吸热，CD为等压压缩过程，系统放热，这两个过程所吸收和放出的热量均可表达为相关的温度的函数。再利用绝热和等压的过程方程，建立四点温度之间的联系，最终可得到求证的形式。
证（1）根据分析可知
P A B D C V 0 习题14-12图 ?=1-
QCDQABmCp,m?TD?TC?T?TDT?TDM?1??1?C=1-C?1??mTB?TATB?TCCp,m?TB?TA?M?????TA??1?TB???? ?（1）
对AB、CD、BC、DA分别列出过程方程如下
VA/TA=VB/TB （2）
VC/TC=VD/TD (3)
VB?-1/TB=VC?-1TC （4）
VD?-1TD=VA?-1TA （5）
联立求解上述各式，可证得 ?=1-TC/TB=1-T2/T1
（2）虽然该循环效率的表达式与卡诺循环相似，但并不是卡诺循环，其原因是：卡诺循环是由两条绝热线和两条等温线构成，而这个循环则与卡诺循环不同；另外式中T1、T2的含意不同，本题中T1、T2只是温度变化中两特定点的温度，不是两等温热源的恒定温度。
14-13 一台利用地热发电的热机工作于温度为227℃的地下热源和温度为27℃的地表之间。（1）假设该热机每小时能从地下热源吸收1.8×1011J的热量，热机效率按可逆机计，其最大功率可达到多少？（2）若一个热机循环真正为可逆循环，其功率会是多少？
解： （1）热机工作在最高的循环效率时，热功转换的效率最高；在此情况下在一定的时间内转化为功的热量越多，功率越大。根据卡诺定理可知，热机获得的最大功率为 P=?Q/t=(1-T2/T1)Q/t=2.0?107J?s-1
（2）可逆卡诺循环是无限缓慢的循环，其效率虽高，但功热转化的速度却是无限缓慢，单位时间内作功为0，功率亦为0。
14-14夏季室外温度为37.0℃，启动空调使室内温度始终保持在17.0℃，如果每天有2.51×108J的热量通过热传导等方式自室外传入室内，空调器的致冷系数为同温度下卡诺致冷机的60%。（1）空调一天耗电多少？（2）若将室内温度设置为27.0 ℃，每天可节电多少？
解： （1）卡诺致冷机的致冷系数为?C = T2 / (T1-T2)，依题意空调的致冷系数应为
? = ?C?60?=0.6T2 / (T1-T2) =8.7
另一方面，由致冷系数的定义，有
? = Q2 / W
W为空调器消耗的电功，Q2是空调从房间内吸取的总热量。若Q’为室外传进室内的热量，则在热平衡时，即保持室内温度恒定时，Q2=Q’。可得空调运行一天所耗电功
W = Q2/? = Q2 /? = 2.89?107 J=8.0KW?h (2) 空调的致冷系数应为
?= 60??
Q2300?18
310?3002.51?108?1.39?107J?3.86KW?h W=?18?W = 8.0-3.86 = 4.14KW?h