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2k???2?2x??6?2k??3?2,(k?Z)
可得k??分
?3?x?k???6,(k?Z)，k???6?x?k??2?3,(k?Z).………………8
所以,函数f(x)的单调增区间为[k???3,k???6],(k?Z)；
f(x)的2?3单调减区间为
[k???6k??π6,k?Zπ2], ………………………10()分
k2π?π6,(k?Z).
.由2x?所
x?k2π?π6 ?kπ?得x?,(k?Z）f(x)以，图象的对称轴方程为
)…………………………13分 k? Z. (16.（共13分）
解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A, …………………………1分
13由题意可得每位乘客在第 ……………………………3分
2层下电梯的概率都是，
65?2?则P(A)?1?P(A)?1???? ……………………………6分
81 . ?3?4(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 1由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，
3所X?B(13以，
,. 4 ……………………………9分 0 1681X P 1 32812 24813 8814 181 ………………………………11分
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E(X)?4?13?43. ………………………………13分
17.(共14分)
（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF?AB ∵AB?AD，AB?AD，AB//DC， ∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点，
EP∴O为AF,BD的交点， ∵PD?PB?2，
AOCB
F D
∴PO?BD， ………………………………..2分 ∵BD?∴PO?AD?AB222?22，
122PB?BO2?2，AO?BD?2，
在三角形PAO中，PO?AO?PA?4，∴PO?AO，……………………………4分 ∵AO?BD?O，∴PO?平面ABCD； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF，∵O为AF的中点，E为PA中点， ∴OE//PF，
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE//平面PDC. ……………………………9分 方法2：由(Ⅰ)知PO?平面ABCD，又AB?AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：
A(?1,?1,0)，B(?1,1,0)，D(1,?1,0)
ABOy22PEF(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0,2)，
DxF CE(?12,?12,22)，
????????????????112)，PF?(1,1,?2)，PD?(1,?1,?2)，PC?(1,3,?2). 则OE?(?,?,222
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?????1???∴OE??PF
2∴OE//PF
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE//平面PDC； …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n?(x1,y1,z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，
????????n?PC?0?x1?3y1?2z1?0则??????，即?， ????n?PD?0?x1?y1?2z1?0????y1?0解得?，令z1?1，则平面PDC的一个法向量为n?(2,0,1)，
??x1?2z1????又CB?(?2,?2,0)
?????则sinθ?cos?n,CB??223?22?33，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为18. (共14分）
33. ………………………………………14分
解：（I）当a?0时，f(x)?x?xlnx，f'(x)??lnx， ………………………2分 所以f(e)?0，f'(e)??1， ………………………4分 所以曲线y?f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y??x?e.………………………5分 （II）函数f(x)的定义域为(0,??)
f'(x)?(ax?x)21x?(2ax?1)lnx?ax?1?(2ax?1)lnx，…………………………6分
①当a?0时，2ax?1?0，在(0,1)上f'(x)?0，在(1,??)上f'(x)?0
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上递减； …………………………………………8分 ②当0?a?12时，在(0,1)和(12a12a,??)上f'(x)?0，在(1,12a)上f'(x)?0
所以f(x)在(0,1)和(③当a?12,??)上单调递增，在(1,12a)上递减；………………………10分
时，在(0,??)上f'(x)?0且仅有f'(1)?0，
所以f(x)在(0,??)上单调递增； ……………………………………………12分
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④当a?12时，在(0,12a12a)和(1,??)上f'(x)?0，在(12a12a,1)上f'(x)?0
所以f(x)在(0,)和(1,??)上单调递增，在(,1)上递减……………………………14分
19．(共13分） 解：（I）由题意可得OP?OM， ……………………………2分
?????????所以OP?OM?0，即(x,y)(,x4)?0? ………………………………4分 即x2?4y?0，即动点P的轨迹W的方程为x2?4y ……………5分 （II）设直线l的方程为y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'(?x1,y1). 由??y?kx?4?x?4y22消y整理得x?4kx?16?0， ………………………………6分
2则??16k?64?0，即|k|?2. ………………………………7分
x1?x2?4k,x1x2?16. …………………………………9分
直线A'B:y?y2?y2?y1x2?x12y2?y1x2?x1(x?x2)
?y?(x?x2)?y22?y?x2?x1x2?x14x2?x144(x1?x2)x?(x?x2)?x?x1x24x1x242214?x2142……………………………………12分
x22?y?? y?
x?即y?x2?x14x?4
所以，直线A'B恒过定点(0,4). ……………………………………13分
20. (共13分）
解：(Ⅰ)由变换T的定义可得A1:0,1,1,0,0,1 …………………………………2分
A0:1,0,1 …………………………………4分
(Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分
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证明：对于任意一个“0-1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对， 所以A2中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………8分 (Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对，
Ak?1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk?1?bk，
由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到， Ak?1中的01数对有两个产生途径：①
由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2k?1个， 所以bk?1?lk?2k，
k所以lk?2?lk?2，
由A0:0,1可得A1:1,0,0,1，A2:0,1,1,0,1,0,0,1 所以l1?1,l2?1， 当k?3时，
k?2若k为偶数，lk?lk?2?2
k?4 lk?2?lk?4?2
?
2 l4?l2?2
k?1上述各式相加可得lk?1?2?2???2经检验，k?2时，也满足lk?(2k?1)
3k?2若k为奇数，lk?lk?2?2
24k?2?1(1?41?42)?13(2?1)，
k1k?4 lk?2?lk?4?2
? l3?l1?2
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k?1上述各式相加可得lk?1?2?2???2经检验，k?1时，也满足lk?(2k?1)
313k?2?1?2(1?41?42)?13(2?1)，
k?1k(2?1),k为奇数??3所以lk??…………………………………………………………………..13分
?1?(2k?1),k为偶数?3
说明：其它正确解法按相应步骤给分.
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