Born to win
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
?sin2x?e2ax?1,x?0,?(1) 若f(x)??在(??,??)上连续,则a?＿＿＿＿＿＿. x? a, x?0??x?t?ln(1?t),d2y(2) 设函数y?y(x)由参数方程?所确定,则2?＿＿＿＿＿＿. 32dxy?t?t?d?cos3xf(t)dt??＿＿＿＿＿＿. (3) ???0?dx?(4) xedx?＿＿＿＿＿＿.
(5) 微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解为＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
?3x2ln(1?x)?(ax?bx2)?2,则 ( ) (1) 设limx?0x25 (B) a?0,b??2 25(C) a?0,b?? (D) a?1,b??2
2(A) a?1,b???23?x,x?1(2) 设f(x)??3,则f(x)在点x?1处的 ( )
? x2, x?1?(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在
sinx(3) 设y?f(x)是满足微分方程y???y??e?0的解,且f?(x0)?0,则f(x)在 ( )
(A) x0的某个领域内单调增加 (B) x0的某个领域内单调减少 (C) x0处取得极小值 (D) x0处取得极大值
x2?x?1(4) 曲线y?earctan的渐近线有 ( )
(x?1)(x?2)x21(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
Born to win
??sinx43423422(5)设M??2,cosxdx,N?(sinx?cosx)dxP?(xsinx?cosx)dx,??????1?x2??222?则有 ( )
(A) N?P?M (B) M?P?N (C) N?M?P (D) P?M?N
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
d2y(1) 设y?f(x?y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求2.
dx(2) 计算
?10x(1?x)dx.
n3422?).
n??4ndx(4) 计算?.
sin2x?2sinx(3) 计算limtan((5) 如图,设曲线方程为y?x?2?1,梯形OABC的面积为D,曲边梯形OABC的面积为2D1,点A的坐标为(a,0),a?0,证明：
y
四、(本题满分9分)
设当x?0时,方程kx?
五、(本题满分9分)
D3?. D12B C y?x2?1 2A O x 1?1有且仅有一个解,求k的取值范围. 2xx3?4设y?, 2x(1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.
Born to win
六、(本题满分9分)
求微分方程y???a2y?sinx的通解,其中常数a?0.
七、(本题满分9分)
设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明：当0???1时,
八、(本题满分9分)
求曲线y?3?|x2?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转所得的旋转体体积.
??0f(x)dx???f(x)dx.
01 Born to win
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】?2
sin2x?e2ax?1【解析】在x?0时是初等函数,因而连续；要使f(x)在(??,??)上连
x续,f(x)在x?0处也连续,这样必有limf(x)?f(0).
x?0由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,x?0时,sinxx；ex?1x.
sin2x?e2ax?1sin2xe2ax?1lim?lim(?) x?0x?0xxx?lim从而有a??2. (2)【答案】
2x2ax?lim?2?2a?a,
x?0xx?0x(t?1)(6t?5)
tdxyt?3t2?2t???3t2?5t?2,
1dtxt?1?1?tdydydtdy???【解析】
dxdtdxdt?y?xx??(y?6t?5(t?1)(6t?5)x)t. ??1xt?t1?1?t【相关知识点】复合函数求导法则：如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(3)【答案】?3sin3xf(cos3x)
)?3??3sin3xf(cos3x). 【解析】原式?f(cos3x)?(cos3x)??f(cos3x)?(?sin3x【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则
F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.
(4)【答案】
212(x?1)ex?C,其中C为任意常数 2 Born to win
【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是ex先进入积分号,
原式?2121?2x2x2x22?xd(e)?xe?ed(x) ??2?2?21?(x2?1)ex?C 其中C为任意常数. 2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.
(5)【答案】(x?4)?y4?Cx,C为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得
dxdy??0,两项分别对x和对y积分得到
x(x?4)y1x?4ln?lny?C1, 4x化简有
x?44?y?C,即 (x?4)?y4?Cx,C为任意常数. x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)
【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得
x2ln(1?x)?(ax?bx)?(x??o(x2))?(ax?bx2)
221?(1?a)x?(?b)x2?o(x2),
2?1?a?05?由假设,应该有?1,故由此a?1,b??,故应选(A).
2?(?b)?2??20ln(1?x)?(ax?bx2)方法2：用洛必达法则.lim为“”型的极限未定式,又分子分母在2x?00x点0处导数都存在,所以,