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1?a?2bx1?x 原式左边?limx?02x(1?a)?(a?2b)x?2bx2 ?lim(若1?a?0,则原式极限为?,必有1?a?0)
x?02x(1?x)??1?2b5?2, ?a?1,b??. 22故应选(A).
(2)【答案】(B)
23??23?【解析】方法1：因f(x)?x,(x?1)?f(x)左可导,f??(1)??x?3?3??2?2.
x?1f(x)?limx?1?f(1)?f(x)不右连续?f(x)在x?1的右导数不存在, 又lim??x?1x?1故选(B). 方法2：f(1)?2f(x)?limx2?1?f(1), ,而 lim??x?1x?13所以,f(x)在x?1点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.
2f(x)?f(1)3???,f??(1)?lim?lim??x?1x?1x?1x?1
232x?f(x)?f(1)33?2.f??(1)?lim?lim??x?1x?1x?1x?1x2?故f(x)在x?1点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)
sinx【解析】由于f(x)满足微分方程y???y??e?0,当x?x0时,有
f??(x0)?f?(x0)?esinx0.
又由f?(x0)?0,有f??(x0)?e(4)【答案】(B)
【解析】用换元法求极限,令t?t2sinx0?0,因而点x0是f(x)的极小值点,应选(C).
1,则当x???时,t?0,且有 xt2?t?1?limy?limearctan?, limy???,
x?0x???t?0(1?t)(1?2t)4 Born to win
所以y轴和y??4是曲线的两条渐近线.
而x?1和x??2并非曲线的渐近线,因当x?1和x??2时,y分别趋向于??e和 2??e142.故应选(B).
【相关知识点】渐近线的相关知识：
水平渐近线：若有limf(x)?a,则y?a为水平渐近线；
x??铅直渐近线：若有limf(x)??,则x?a为铅直渐近线；
x?a斜渐近线：若有a?limx??f(x),b?lim[f(x)?ax]存在且不为?,则y?ax?b为斜渐
x??x近线.
(5)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故M?0,且
由定积分的性质,如果在区间?a,b?上,被积函数f(x)?0,则
??baf(x)dx?0 (a?b).
?所以 N?2?20cosxdx?0, P??2?2cos4xdx??N?0.
04因而 P?M?N,应选(D).
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1)【解析】方程两边对x求导,得y??f??(1?y?),两边再求导,得
y???f???(1?y?)2?f??y??,
由于一阶导数不等于1,所以1?f??0. 以y??f?f??代入并解出y??,得 y???. 1?f?(1?f?)3【相关知识点】复合函数求导法则：
如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(2)【解析】用换元积分法.
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观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.
2令x?sint,则2xdx?costdt.当x?0时,t?0；当x?1时,t??,故 2131?31?4?. 原式??2costdt??(??)?02422322【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：
?(n?1)!!?, n为偶数，????n!!2In??2sinnxdx??2cosnxdx??
00(n?1)!!?, n为奇数.??n!!注：对于双阶乘n!!的定义如下:当n为奇数时,n!!?1?3?n!!?2?4??n.
(3)【解析】方法1：用三角函数公式将tan(?n；当n为偶数时,
21?)展开,再化为重要极限lim(1?)x?e的
x??4nx形式,利用等价无穷小因子替换,即x?0时,tanxx,从而求出极限.
?2?2???1?tan2tan????2n?nnlimtan(?)?lim???lim?1?? n??4nn???1?tan2?n???1?tan2?n?n???1?tannn2??2tan?n??lim?1?n??2??1?tan?n??224tann?n?12222tan1?tannnn4tann??lim?e2n2n?12n1?tan?e4.
方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 ex??因为
limlnf(x)?limf(x).
x??22??2tan?2n?limnln?1?n? limlntann(?)?limnln?n??2n??2?4nn???1?tan?1?tannn??1?tan2?2?2tantan?4n??limn?4, ?limn??n??n??222?1?tan?1?tann?nn??2lntann(?)24n于是 limtan(?)?lime?e4.
n??4nn??(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin2??2sin??cos?,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得
n? Born to win
dxdx??sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)
??(
sinxdx11 cosx?u ?du 22?2sinx(cosx?1)2(1?u)(1?u)22 sinx?1?cosx)
??1(1?u)?(1?u)1112du??(??)du
4?(1?u)(1?u)28?1?u1?u(1?u)21?2???ln|1?u|?ln|1?u|??C ?8?(1?u)?1?2???ln?1?cosx??ln?1?cosx???C, 8?1?cosx??其中C为任意常数.
方法2：换元cosx?u后,有
原式?dxsinxdx1du????2sinx(cosx?1)?2sin2x(cosx?1)2?(1?u)(1?u)2.
用待定系数法将被积函数分解:
1ABD??? 22(1?u)(1?u)1?u1?u(1?u)(A?B)u2?(2A?D)u?(A?B?D), ?2(1?u)(1?u)?A?B?011???2A?D?0?A?B?,D?.
42?A?B?D?1?于是,原式＝?11121?2?(??)du?ln1?u?ln1?u??C 2???81?u1?u(1?u)8?1?u?1?2???ln?1?cosx??ln?1?cosx???C. 8?1?cosx??(5)【解析】对梯形OABC的面积为D,可用梯形面积公式
h(a?b),其中h为梯形的高,a、2b分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC的面积则用积分式求解.
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11?(?a2)2a(1?a)D?22a?, 22a1131a(3?2a2)2D1??(?x)dx?a?a?.023261?a232?1,由此, 由于 1?a??a,所以
322?a22a(1?a2)D3(1?a2)31?a232????. 223D1a(3?2a)3?2a2?a2226
四、(本题满分9分) 【解析】方程kx?1?1的解即为?(x)?kx3?x2?1的零点. 2x1要证明方程kx?2?1有且仅有一个解,只需要证明?(x)是单调函数,且它的函数图
x对?(x)求一阶导数,有??(x)?3kx2?2x?x(3kx?2).
当k?0时,??(x)?0,?(x)单调减少,?(0)?1?0,lim?(x)???,?(x)在x?0有
x???像仅穿过x轴一次就可以了.以下是证明过程.
唯一的零点；
2224)单调减少,在(,??)单调增加,?()?1?,而23k3k3k27k2?(0)?1?0,lim?(x)???,当且仅当最小值?()?0时,?(x)才在x?0有唯一零点,
x???3k23. 这时应该有k?923时,原方程有唯一实根. 总之,当k?0或k?9当k?0时,?(x)在(0,
五、(本题满分9分)
【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y?在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y??的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.