§2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是
( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析设圆心的坐标为(0,m),则有
所以圆的方程是x2+(y-2)2=1. 答案A 2.方程y=-A.一条射线 解析由y=-下半部分. 答案D 3.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为( )
表示的曲线是( ) B.一个圆
C.两条射线
D.半个圆
=1,解得m=2,
两边平方可得y2=12-x2,即x2+y2=12,又因为y≤0,所以该方程表示圆x2+y2=12的
A.
+y2= B.x2+
C.
+y2= D.x2+
解析设圆心为(0,a),根据所求圆与x轴相切,可知圆的方程为x2+(y-a)2=a2.
又圆过点(-1,2),所以有1+(2-a)2=a2,得a=
,
因此圆的标准方程为x2+
.
答案B 4.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是( ) A.6
B.4
C.5
D.1
解析圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d=答案B =5,故所求的最小值为d-r=4.
5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-2) C.(1,+∞)
B.(-∞,-1) D.(2,+∞)
解析曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a>2. 答案D 6.圆心在C(-1,2),且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是 . 解析因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=圆心为C(-1, 2),故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 答案(x+1)2+(y-2)2=5
7.已知圆C1的方程(x+3)2+(y-2)2=5,圆C2与圆C1是同心圆,且与x轴相切,则圆C2的标准方程为 . 解析由圆C1的方程知圆心C1(-3,2).
因为圆C2与圆C1是同心圆, 所以圆C2的圆心也为(-3,2). 又圆C2与x轴相切,则半径为2, 所以(x+3)2+(y-2)2=4. 答案(x+3)2+(y-2)2=4
8.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 .
解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1. 答案x2+ (y-1)2=1
9.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程. 解设圆心坐标为(3a,a),因为圆心在直线x-3y=0上,
又圆C与y轴相切,所以半径r=|3a|, 圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=|3a|2. 又过点A(6,1),所以(6-3a)2+(1-a)2=9a2, 即a2-38a+37=0,解得a=1或a=37.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112.
,又
10.导学号91134052已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断
这四个点能否在同一个圆上,为什么?
解设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
代入三点的坐标得的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
解方程组,得所以经过A,B,C三点的圆
将点D的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点D在圆上,故A,B,C,D四点能在同一个圆上.
B组 能力提升
1.圆E经过三点A(0,1), B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )
A.
+y2=
B.
+y2=
C.
+y2=
D.
+y2=
解析根据题意,可设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r.
则,解得a=
,r2=
.
故圆E的标准方程为答案C 2.方程|x|-1=A.一个圆 C.半个圆
+y2=
.
表示的曲线是( ) B.两个圆 D.两个半圆
解析由题意得,
即,
或
故原方程表示两个半圆. 答案D .
3.设实数x,y满足(x+3)2+y2=6,则的最大值是( )
A. C.
B. D.
解析令=k,即y=kx,直线y=kx与圆相切时恰好k取最值,如图所示,
易得k=tan α=.
答案C
4.如图所示,ACB为一弓形,且点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为
A.x2+y2=16 B.x2+y2=4 C.x2+(y+2)2=20 D.x2+(y+3)2=25
解析∵圆心在弦AB的中垂线上,
( )
∴圆心在y轴上,可设P(0,b).
∵|AP|=|CP|, ∴=|2-b|,解得b=-3.
∴圆心P(0,-3),半径r=|CP|=5. ∴圆的标准方程为x2+(y+3)2=25.
答案D 5.设圆C:(x-a)2+(y-1)2=1(a为常数)被y轴截得的弦为线段AB,若弦AB所对的圆心角为,则实数a= .
答案±
6.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,如图所示,则△ABC面积的最小值为 .
解析∵|AB|=2为定长,
∴当△ABC的高即点C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1.
所以此时点C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1. 答案1 7.一束光线从点A(-1,1)发出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,最短路程为 . 解析设光线与x轴交于B(x,0),
依题意得kBC+kBA=0,即=0.
解得x=-,
于是最短路程为d=|AB|+|BC|-1=答案4 8.
-1=4.
导学号91134053已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).
(1)求此圆的标准方程;
(2)设点P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值. 解(1)由题意,结合图①可知圆心C(3,0),r=2,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.
(2)如图②所示,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.
由点到直线的距离公式可得|CD|==2,
又P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2, 结合图形易知,点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2,最小值为2
-2.