山西省大同市2009届高三年级第一次模拟考试数学（理）09-03
考试时间120分钟 分值：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．已知集合M={x|x?1},P={x|x>t},若MP=?，则 A．t >1 B．t?1 C．t?1 D．t?1
i3(i+1)? 2．i是虚数单位，
i—1 A．-1 B．1 C．-I D．i
?x2?bx?c,(x?0)3．设函数f(x)??若f(?4)?f(0),f(?2)??2，则关于
(x?0)?2 x的方程f(x)?x解的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3?,?),sina?,则tan(??)等于 25411 A． B．7 C．? D．-7
775．设函数f(x)?logax(a?0,a?1)满足f(9)?2，则f?1(log92)等于
4．已知a?( A．2 B．2 C．-2 D．?2 6．已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n项和是 A．(2
7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·(b?c)=0，则|c|的最大
值是
A．1 B．2 C．2 D．
?13n+1111?1) B．(2n+1?2） C．(22n?1) D．(22n?2)
3332 28．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，
程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A．24种 B．48种 C．96种 D．144种
9．三个实数a，b，c成等比数列，若有a+b+c=1成立，则b的取值范围是 A．?,1 B．?0,? C．[?1,0)3310．如图，已知A，B，C是表面积为48?的球
面上三点，AB=2.BC=4，?ABC=1?1????1??1? D．0,?,0????3???3??0,1?
π,O 3为球心，则二面角O-AB-C的大小为
?? B． 34333 C．arccos D．arccos
113 A．
x2y211．已知双曲线C:2?2?1的焦点为FM为双曲线上一点，以FF1、F2，12为直径的圆与双曲线的一
ab1?,则双曲线的离心率 个焦点为M，且tan?MFF122 A．2 B．3 C．2 D．5
12．若函数f(x)=sinxsinx1sinx2,且0?x1?x2?1，设a?,b?,则a,b的大小关系是 xx1x2 A．a?b B．a?b C．a?b D．a、b的大小关系不能确定
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．(x?19)的展开式中x9的系数是_______________________。 2x?2x?y?2?0?14．若实数x,y满足?y?3则x2+y2的最大值等于_________________。
?3x?4y?3?0?215．椭圆ax2+by2=1与直线y?1?x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线倾斜角为30°，
a的值为_______________________。 b16．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，g(x)?0,f'(x)?g(x)?f(x)。
则
g'(x),f(x)?ag(x),?f(n)?f(1)f(?1)5??，在有穷数列??（n=1，2…10）中，任意取前k项g(1)g(?1)2g(n)??15相加，则前k项和大于的概率是_______________________。
16x三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分10分）
在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边，已知a?(b?c)?bc （1）求角A；
（2）若a?23,内角B等于x，周长为y,求y?f(x)的最大值
18．（本小题满分12分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次从中摸出2个球
（1）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？
（2）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖
的概率是多少？
（3）在（2）条件下，级?为三次摸球中中大奖的次数，求?的数学期望。
2219．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1
中，侧面AA1B1B?底面ABC， 侧棱AA1与底面ABC成60°的角 ，AA1?2，低面ABC是边长为2 的正三角形，其重心为G点（重心 为三条中线的交点）。E是线段BC1
13（1）求证：GE//侧面AA1B1B；
上一点且BE=BC1。
（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐 二面角的大小。
20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?3ax(a?R)。 （1）当a=1时，求f(x)的极小值；
（2）若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，求a的取值范围；
a?,求g(x)的最大值F(a)的解析式。 （3）设g(x)?|f(x)|,x?[?1,1],且
21．（本小题满分12分） 已知F1(?2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|?|PF2|?2，记点P的轨迹为E，直线l过点F2且与轨迹E
交于P、Q两点。
（1）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP?MQ恒成立，求实数m的值。
（2）过P、Q做直线x=值范围。
22．（本小题满分12分）
131|PA|?|QB|的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=，球λ的取2|AB|an-11,an?(n?2,n?N) 4(?1)nan-1?2 （1）求数列{an}的通项公式an；
1 （2）设bn=2，求数列{bn}的前n项和Sn；
an 已知数列{an}满足a1?(2n-1)π,，数列{cn}的前n项和为Tn。 24* 求证：对任意的n?N,Tn?
7 （3）设cn?ansin
大同市2009届高三年级第一次模拟考试
数学(理科)答案及评分标准
一、选择题: 题 号 1 答 案 B 二、填空题: 13. ?2 A 3 B 4 A 5 A 6 C 7 C 8 C 9 C 10 11 12 D D A 3321 14. 34 15. 16. (或0.6) 523三、解答题： 2222217. 解：（1）由a ?(b?c)?bc得:a?b?c??b222b?c?a1??A???cosA??又0 ?A?………………4分
2bc23（2）?ACBCBC23 ?,?AC??sinx??sinx?4sinx?sinxsinA3sin32同理：AB………………6分 ??sinC?4sin(?x)BCsinA2 ?y?4sinx?4sin(?x)?233?23????2?………………8分 ?43sin(x?)23?A? ?0?B?x?633
故x??(,??5?6x???x?时,y?63……………………10分 )?max62366???18. 解：（1）记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A
2C1526(A)??12??1?………………………………………………………………4则P453C10分
（2）记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B
2C624()?2??………………………………………………………………6则PB4515C10分
3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验
21352???2?4(2)?C1??3??? ………………………………8则P3????15525151125???1?2232分
(3)中大奖的次数?可能取的值为0,1,2,3 ∴?的数学期望为
E??0?(1315)3?1?C13(215)?(1322221323215)?2?C3(15)(15)?3?(15)?5………………12分 或E??3?2215?5
19. 解法1：(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC1∽ΔFEB, BE＝12ＥＣ１
∴ＢＦ＝12Ｂ１Ｃ１＝12ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点． ………………2分
∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且
FGFA＝FEFB＝113， ∴GE∥AB1，
又GE?侧面AA1B1B，AB1?侧面AA1B1B, ∴GE∥侧面AA1B1B …………4分
（２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2，
∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝3………………………………6分 在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有 B1Ｔ⊥ＡＦ，又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，
∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角………………………………………………8分 ∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００， ∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝32，
在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝B1H＝23HT3 ………………10分
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan23………………312分 解法2：（１）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， ∴∠A０1AB＝６０，又AA1= ＡＢ= 2，取ＡＢ的中点Ｏ,则ＡＯ⊥底面ABC． 以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，…………………………1分 则Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（3，０，０），
Ａ１（０，０，3）Ｂ１（０，２，3），Ｃ１（3，１，3）．
∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ｇ（33，０，０）， ∵BE＝13BC1
∴Ｅ（33，１，33）∴GE＝（０，１，33）＝13AB1，
?GE∥AB1即GE∥AB1…………………………………………………………3分
又GE?侧面AA1B1B，AB1?侧面AA1B1B, ∴GE∥侧面AA1B1B ………… 4分 （２）设平面B1GE的法向量为n＝（ａ，ｂ，ｃ），
则由B1En??0及GE?n?0得3233a?b?3c?0；b?33c?0． 可取n?(3,?1,3)………………………………………..…7分 又底面ABC的法向量为m＝（０，０，１），………………………………9分 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为?，
则cos?＝m?n21|m||n|＝7, ……………………………………………11分
B1