第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切
1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.
2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系. 3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换.
2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,你能求出sinθ-cosθ的值吗?
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问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α= (α为任意角);
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(2)cos 2α=cosα- = -1=1- (α为任意角);
(3)tan 2α= (α≠ +kπ,且α≠+ ,k∈Z).
问题2:半角的正弦、余弦、正切公式
sin= ;cos= ;
tan= = = . 问题3:如何根据倍角公式导出半角公式?
单角和倍角是相对的,α是的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到22cos=,sin=,把这个式子开方得cos=±,sin=±,再根据同角三角函数关系可得tan=±,符号由所在象限决定.对正切的半角公式又有tan====,这组公式称为半角公式.
问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?
1.sin cos 的值为( ).
A. B. C. D. 2.等于( ).
A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1-sin 1 D.sin 1-cos 1 3.= .
4.请回答《创设情境》中的问题.
直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值 将下列三角函数式进行化简或求值: (1)8sincoscoscos; (2)-;
(3)(sin+cos)(sin-cos);
二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用
已知sin α+cos α=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,). (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值.
已知角的某种三角函数值求值或角
已知方程x+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(-,),则tan的值是 .
将下列三角函数式进行化简或求值: (1)(2)
已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[,]上的最小值和最大值.
已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
;
(0<θ<π).
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1.已知sin 2α=,则cos(α+)=( ).
A. B. C. D.
2.若△ABC的内角A满足sin 2A=,则sin A+cos A的值为( ).
2
A. B.- C. D.-
3.化简cos2(θ+15°)+cos2
(θ-15°)-cos 2θ= . 4.函数f(x)=cos 2x+sin x,求f(x)在区间[-,]上的最小值.
(2012年2四川卷)已知函数f(x)=cos2
-sincos-. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)=,求sin 2α的值.
考题变式(我来改编):
答案
第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切
知识体系梳理
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问题1:(1)2sin αcos α (2)sinα 2cosα 2sinα (3)问题2:± ± ±
问题4:sin(α+β) cos(α+β) sin(α-β) cos(α-β) tan 2α tan(α+β) tan(α-β) 基础学习交流
1.A sin cos =(2sin cos )=sin(23)=sin =. 2.B ∵0<1<,∴cos 1>0,∴===cos 1. 3. 原式=()=tan(2322.5°)=tan 45°=. 4.解:在Rt△BCG中,设|CG|=x, 由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x. 由题意知,|BC|=1,|GF|=,
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而|CG|+|BG|=|BC|,∴x+(+x)=1, ∴x=,∴sin θ=x=,
∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=23()2-1=-.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)原式=4sin cos cos =2sin cos =sin =. (2)原式==tan 2α.
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(3)原式=sin-cos=-cos =.
【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正确使用.
探究二:【解析】(1)由题意得(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,∴sin 2α=.
又2α∈(0,),∴cos 2α==,∴tan 2α==. (2)∵β∈(,),β-∈(0,),sin(β-)=, ∴cos(β-)=,
∴sin 2(β-)=2sin(β-)cos(β-)=, 又sin 2(β-)=-cos 2β,∴cos 2β=-, 又2β∈(,π),∴sin 2β=. ∵cos2α==,α∈(0,), ∴cos α=,sin α=.
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=3(-)-3=-.
【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、漏解.
探究三:【解析】由韦达定理得,tan α+tan β=-4a,tan α2tan β=3a+1,
∴tan(α+β)===, 又∵tan(α+β)==,
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整理,得2tan+3tan-2=0,
又α,β∈(-,),∴α+β∈(-π,π), ∴∈(-,),
∴tan=-2或tan=. [问题]tan=吗?
[结论]tan≠,∵a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α2tan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0,又由α,β∈(-,),得α,β∈(-,0),α+β∈(-π,0),则∈(-,0). 于是,正确解答如下:
由韦达定理得,a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α2tan β=3a+1>0, ∴tan α<0,tan β<0.
又∵α,β∈(-,),得α,β∈(-,0), ∴α+β∈(-π,0),∈(-,0). 又∵tan(α+β)===,tan(α+β)==,
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整理,得2tan+3tan-2=0, 解得tan=-2或tan=(舍去). 【答案】-2 【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的. 思维拓展应用
应用一:(1)原式= ===cos 2x. (2)因为0<θ<π,所以0<<, 所以原式= ==-cos θ.
应用二:(1)∵f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
∴函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)∵f(x)=sin(2x-)在区间[,]上为增函数,在区间[,]上为减函数,又f()=0,f()=,f()=sin(-)=-sin=-1,
∴函数f(x)在区间[,]上的最大值为,最小值为-1. 应用三:因为tan 2(α-β)==,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==1, 又tan α=tan[(α-β)+β]==,
因为α∈(0,π),所以0<α<,又<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-. 基础智能检测
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1.A cos(α+)===,故选A. 2.A ∵sin 2A=2sin Acos A=,00,cos A>0,∴sin A+cos A====.