∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=3(-)-3=-.
【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、漏解.
探究三:【解析】由韦达定理得,tan α+tan β=-4a,tan α2tan β=3a+1,
∴tan(α+β)===, 又∵tan(α+β)==,
2
整理,得2tan+3tan-2=0,
又α,β∈(-,),∴α+β∈(-π,π), ∴∈(-,),
∴tan=-2或tan=. [问题]tan=吗?
[结论]tan≠,∵a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α2tan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0,又由α,β∈(-,),得α,β∈(-,0),α+β∈(-π,0),则∈(-,0). 于是,正确解答如下:
由韦达定理得,a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α2tan β=3a+1>0, ∴tan α<0,tan β<0.
又∵α,β∈(-,),得α,β∈(-,0), ∴α+β∈(-π,0),∈(-,0). 又∵tan(α+β)===,tan(α+β)==,
2
整理,得2tan+3tan-2=0, 解得tan=-2或tan=(舍去). 【答案】-2 【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的. 思维拓展应用
应用一:(1)原式= ===cos 2x. (2)因为0<θ<π,所以0<<, 所以原式= ==-cos θ.
应用二:(1)∵f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
∴函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)∵f(x)=sin(2x-)在区间[,]上为增函数,在区间[,]上为减函数,又f()=0,f()=,f()=sin(-)=-sin=-1,
∴函数f(x)在区间[,]上的最大值为,最小值为-1. 应用三:因为tan 2(α-β)==,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==1, 又tan α=tan[(α-β)+β]==,
因为α∈(0,π),所以0<α<,又<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-. 基础智能检测
2
1.A cos(α+)===,故选A. 2.A ∵sin 2A=2sin Acos A=,00,cos A>0,∴sin A+cos A====.