高中数学教案 第十章排列组合和二项式定理（第9课时）
课 题： 10．3组合 (三)
教学目的：
1进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力 教学重点：组合应用问题 教学难点：组合应用问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法. 教学过程：
一、复习引入：
1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法
中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N?m1?m2???mn种不
同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 第 1页（共6页）
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种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个．．．．．元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排
m列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m5．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
6 阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．
m7．排列数的另一个计算公式：An=
n! (n?m)!8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一
组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 9．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的
m个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示． Cn．．．
Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)10．组合数公式：C?m?
Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!11 组合数的性质1：Cn?Cnmn?m0．规定：Cn?1；
mm?1 12．组合数的性质2：Cn＝+ CCn?1nm二、讲解范例：
例1．100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件．
（1）一共有多少种不同的抽法；
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（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？
3312解：（1）C100（2）C98（3）C2 ?161700；?152096；C98?2?4753?9506；1221（4）解法一：（直接法）C2C98?C2C98?9506?98?9604； 33 解法二：（间接法）C100?C98?161700?152096?9604．
例2．从编号为1，2，3，?，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
14325解：分为三类：1奇4偶有C6 3奇2偶有C6 5奇1偶有C6， C5 ；C5；14325∴一共有C6C5+C6C5+C6?236．
例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：
22①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C4C3； 31②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C4C3； 32③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C4C3， 312232∴一共有C4C3+C4C3+C4C3＝42种方法．
例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
221211解法一：（排除法）C6C4?2C5C4?C4C3?42．
22解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C4C3； 12另一类为甲不值周一，但值周六，有C4C4， 1222∴一共有C4C4+C4C3＝42种方法．
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例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
2解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有C6种
方法；
5第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有A5种方法． 52根据分步计数原理，一共有C6＝1800种方法 A5三、课堂练习：
1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）
A．70 B．80 C．82 D．84
2．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则
不同的分配方案有 （ ）种
4C12C84C44． 3A3A．CCC412484B4
．3CCC C．CCA4124844412483D3
3．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为
A．480 B．240 C．120 D．96 4．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能 5．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法 6．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数 7．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛 （1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法 9．在200件产品中，有2件次品从中任取5件， （1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种； （4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 10．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选
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时的不同选法有16种，求该科技小组中女生的人数 答案：1. A 2. A 3. B 4. C??428231?4900 5. C3C4C2?24
53236. A5C5C4?7200 7. C7?3?32
222444448.⑴C5C4?60 ⑵C7?21 ⑶C9?C4?C5?120 ?C7?91 ⑷C9349.⑴C198?1274196 ⑵2C198?124234110 555⑶C198?2410141734 ⑷C200?C198?125508306
10. 女生的人数是2 思路：分n?3和3?n?4两种情况讨论 四、小结 ：排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法 五、课后作业：
1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个
4解：正方体有8个顶点，任取4个顶点的组合数为C8?70个，
其中四点共面的情况分2类：构成表面的有6组；构成对角面的有6组， 所以，能形成四面体70?12?58（个）．
2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对 解：由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58＝174对 3122另解：3?2C4C4?C4C4?10??174对 ????3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？
⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？
55答案：⑴5?15625；⑵A6?6． ?720；⑶C66六、板书设计（略） 七、课后记： 第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后
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决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
2答案是：8C4?8?4?2?2?64，这题如果作为习题课应如何分析 解：可分为如下几类比赛：
⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；
⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；
⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场； ⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场.
2综上，共有8C4?8?4?2?2?64场
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