北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 课题 课型 课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定 新课 授课时间 2011-3 教案编号 授课班级 授课人 郝永军 教材分析 本节出自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2，第二章第三节的第一课时。本节内容是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，这些知识为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节主要是学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。直线与平面垂直的定义，既是直线与平面垂直的最基本的判定方法，又是直线与平面垂直最基本的性质．直线与平面垂直的判定定理是通过实验直观感悟得到的。它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，体现了数学中无限到有限、线面垂直转化为线线垂直的思想。线面垂直是空间中垂直关系的核心。在教材中起着承上启下的作用。 学情分析 前面学生已经学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识。 学法指导 直观感知，操作确认。观察——实验——思考——猜想——证明（或反驳） （1）借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 （2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题，进一步培养学生的空间观念。 培养学生的几何感观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论 教知识与技能 学过程与方法 目标情感（1）让学生亲身经历数学探索的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 态度（2）培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知识。 与价值观 教学重点 直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究； 教学难点 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 教学资源 自制三角形纸片 教学方法 本课采用“引导—探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。 知识结构 板书计划 教学过程 第1页 共9页
北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 教学环节 所需时间 教师活动 教学内容 学生活动 设计意图 教学反馈 问题1、直线与平面的的位置关系有哪几种？两直线垂直的定义？ 说明：（1）“线在面内属于初中平面几何所研究的内容；（2）“线面平行”我们前两节课已经学习了包括它的定义、判定定理及性质定理等内容；（3）“线面相交”可分为垂直相交和斜交两种情况，今天我们将要学习的就是线面垂直的这种位置关系。 问题2：观察以下图片，观察线面垂直的例子。（用校园风光照片进行投影提问） 由示例看出在日常生活中，线面垂直的例子随处可见。那么一条直线垂直于一个平面的条件是什么？该怎样给它下定义呢？引出新课。 问题3：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ （1）我们知道，对直线与平面平行的位置关系的研究，是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的，它体现了什么数学思想方法？ （2）类比上述数学思想方法，我们该如何刻画一条直线与一个平面垂直呢？ 设计意图：通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，不仅引导研究方法，而且渗透类比、平面化、降维等数学思想方法。 师生活动：引导学生回顾直线与平面平行的位置关系研究中体现的数学思想方法，并将其迁移到研究直线与平面垂直的位置关系上来。 问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义。 （1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗? （2）旗杆AB与地面上任意第2页 共9页
A B’ B C 图1 C’ 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？ 设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵。 师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。 问题5：如图2，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗？ 设计意图：通过观察、思考与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵。 师生活动：引导学生观察实例（如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系）和几何模型（如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等），从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直。 问题6：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。 师生活动：学生作答，教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。 定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。 画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平第3页 共9页
A B 图2 l α 图3 P 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 行四边形的一边垂直，如图3。 辨析1：下列命题是否正确？为什么？ （1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。 （2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。 设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思。而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法。 师生活动：命题（1）判断中引导学生用笔表示直线，用书本表示平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块直角三角板的一条直角边AC放在黑板面上，再在黑板面上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但BC不一定和黑板面垂直（图4）。引导学生给出命题（2）的符号表示：a?????a?b b???B A E α C F 图4 问题7：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？ 设计意图：感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系。 师生活动：引导学生思考用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才合适，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，引导学生进行折纸活动。 实验：如图5，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的第4页 共9页
A B D C 图5 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。 拿出课前准备好的一块三角形纸片，过顶点A翻折该纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在水平的桌面上（如图），并请学生观察：折痕AD与桌面垂直吗？ BAADB DC C又如何来翻折AD才能够与桌面垂直？在动手操作的过程中，学生很容易发现：当且仅当折痕是边BC上的高，这样翻折之后折痕不偏不倚地站立着，即CD与桌面垂直（如图）。 BDC 这又是为什么呢？∵AD⊥BC,翻折之后这一垂直关系是一个不变CAABD关系，即在右图中有AD⊥CD且AD⊥BD。这样看来，似乎应有以下的结论 ：CD与平面α内的两条相交直线垂直，则，CD⊥α,这不就是线面垂直的判定定理吗？ 那么能不能再退一步，即折痕CD与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证CD⊥α？让学生再动手试一试看：我们将折纸展平并让它竖起来，发现尽管有CD⊥AB，但纸张并不能稳稳地竖立在桌面上，看来CD至少要与平面α内的两条相交直线垂直，才有CD⊥α。 猜想得到判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直．．．．．线，那么这条直线就垂直于这个平面 ．（1）分析定理的证明步骤：（投影，采用动画效果） I、根据已知条件画出相应的图形： 问题10：（1）如图7，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ,把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？ （2）如图8,若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？ ? m n l lo m o ? n 图8 图7 第5页 共9页