北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的。 师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充，并结合“两条相交直线确定一个平面” 的事实作简要说明，然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 m??,n??,m?n?O?用符号语言表示为：??l?? l?m,l?n?llBmnaagnBm （通过交点B） （不通过交点B） 分析：下面我们先来证明通过交点B的情况，可根据图形写出相应的“已知”和“求证”。 II、分析：根据定义，要证明l⊥?，只需证明l垂直于平面?内的任何一条直线，因此可设想，g是平面?内的任意一条直线，只要证明l⊥g，则l⊥?。任作一条直线g与直线m、n、l的位置关系有以下几种情况： （通过交点B，包括g与m或n重合的情况）（不通过交点B） 分析：下面首先证明直线l与g都通过交点B的情况。 III 、分析：根据已知条件，从角度方面证明直线g与直线l所成的角为90°是不可能的，因此，考虑转化为平面问题运用中垂线或全等图形的手段去证明。设想到在直线l上点B的两侧分别取点A和点A’，并使AB=A’B，使B为中点。 BnmllBmnaa IV：分析：由此可知直线m，n都是线段AA’的垂直平分线，如果能证明直线g也是线段AA’的垂直平分线，便可得证l⊥?。那么直线g怎样与已知直线m、n联系上呢？过直线m、g、n任作一条直线，把直线g与直线m、n联系起来。 V：在平面?内任作一条直线CD，与直线m，n，g分别交于点C、D、第6页 共9页
北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 E，连结AC、A’C、AD、A’D、AE、A’E。 最后则有： AC=A’C，AD=A’D，CD=CD ∴△ACD≌△A’CD（SSS） 得∠ACE=∠A’CE ∴△ACE≌△A’CE（SAS） 得AE=A’E g是AA’的垂直平分线即l⊥g。 VI：分析：上面证明的是直线g与l都通过交点B的情况，当直线l或g中有一条或两条不经过点B时，该怎么证明呢（设问）？不通过交点B的情况均可通过平移转变为通过交点B的情况，同理可证l⊥g，综上所述l⊥?。 （2）判定定理的证明过程： 已知：如图mс ?，nс ?，m∩n=B，l⊥m，l⊥n。 求证：l⊥?。 l 证明：如图，设直线g是平面?内的任一条直线。 第一种情况：l、g都过交点B的情况。 在直线l上点B的两侧分别取点A 和点A’，使AB=A’B，在平面?内任作一条直线CD，与直线m、n、g分别交于点C、D、E，连接AC、A’C、AD、 A’D，AE、A’E，则有： AC= A’C，AD= A’D，CD=CD ∴△ACD≌△A’CD（SSS） 得∠ACE=∠A’CE ∴△ACE≌△A’CE（SAS） 得AE=A’E ∴g是线段AA’的垂直平分线，即l⊥g。 第二种情况：l、g有一条或两条不通过交点的情况。 这种情况可通过平移转变为通过交点B的情况，根据平行直线的有关原理同理可证l⊥g，综上所述l⊥?。 m A C Eg n D A（3）定理强化： I）若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。（ ） II）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（ ） III）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在平面。（ ） （4）强调判定定理中的关键词：“两条”、“相交直线”，如果将定理中的“两条”换成“一条”或将“相交直线”换为“平行直线”，定理是否仍然成立？ 3、例题： 第7页 共9页
北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组 郝永军 如图,观察跨栏、跳高架，你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是什么? 设计意图：用学习到的知识解释实际生活中的问题，增强学生运用数学的意识，深化对直线与平面垂直判定定理的理解。 例1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么，另一条也垂直于同一个平面。 已知：如图a∥b，a⊥?。 求证：b⊥?。 分析：要证b⊥?根据判定定理， 需要证明b垂直于平面?内的两条相 交直线，故可在平面?内任作两条相 交直线m、n,由已知a⊥?，根据线面 垂直的定义，可知a⊥m和a⊥n，再 根据已知a∥b，从而得证b⊥?平面?。 证明：在平面?内任作两条相交直线m与n，则： a⊥ ? mс ? ? a⊥m n с ? a⊥n ? b⊥m a∥b b⊥n ? b⊥?。 α a b n m 例2：如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确： ① AC⊥面CDD1C1 ② AC⊥面BDD1B1 ③ EF⊥面BDD1B1 ④ AC⊥BD1 例3.在Rt△ABC中,D为斜边AB上的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12, A A1 E D1 B1 图10 B C1 F C 求证:1）AC ⊥平面BCE; 2)AC ⊥BE 第8页 共9页
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课堂小结 1、 小结： 1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？ 2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？ 3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？ （1）线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都都垂直，那．．．．么这条直线就与这个平面相互垂直。 （2）线面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么．．．．．．这条直线就垂直于这个平面。 （3） 判定定理 线线垂直 线面垂直 定义 课堂检测 在正方体中,E,F分别是棱C1D1,,B1C1中点,O是底面的中心,那么直线EF与平面CC1O垂直吗?请说明理由. 教学效果 ⑴教学任务完成情况 自我评估： 分层作业 课后反思 改进设想 ⑵学生掌握情况
1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD。
2、课本P73 探究题：如图，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
B 题2 C 第9页 共9页
P A O B A’ B’ A D’
C’ D 题1
C
D