证明：设y1,y2?{f(x)| x?A}, y1＜y2，则存在x1,x2使y1=f(x1), y2=f(x2). ∴f(x1)＜f(x2).∵f(x)是增函数,∴x1＜x2 即f -1(y1)＜f -1(y2). ∴x= f -1(y)是增函数，即y=f -1(x)是增函数
9、
(1)f(x)?x?1x 的定义域是R+ 当0＜x1＜x2时
f(x2)-f(x1)=x2?x1?(1x2?1x1)?(x2?x1)(1?1x1x2)?0
∴f(x)在R+是增函数,∴f(x)有反函数. ∵x?R?时,－∞＜x?12121x＜＋∞,∴f -1(x)的定义域为R.
y?x?x?1112y?y?4x?12. ?2 ∴(x2)?y?x2?1?0.解得x2?x22∵y?12y?4 ∴y?2y?4?0 而x?0.
12y?y2?41∴x? ∴x?(y?y2?4)2
421∴f -1(x)=(x?x2?4)2 x?R.
411(2)在f -1(x)=(x?x2?4)2中,令x=0得f -1(0)=·4=1，∴f -1(x)经过(0,1)点
44要判断y= f -1(x)与y=x有无交点,由于y= f -1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称, 只需判断y= f (x)与y=x有无交点.
111y?x???2211解? x(1?x2)?1 ? 得x?x?x22??y?x?x当0＜x＜1时,0?1?x?1 0?x(1?x)?1 方程无解. 当x≥1时, x(1?x)?0方程无实根.
即y= f (x)与y=x无交点,故y= f -1(x)与y=x无交点.
(3)∵y=f(x)的定义域为R+，∴y= f -1(x)的值域是R+，故f -1(x)≤0的解集为Φ.
12121210、
?x2?2x?0??f –1(g(f(x)))=?x?2?2?x?0
?x?2x??2??
11、
证明：因为f(x)与g(x)互为反函数，故g(f(x))=f(g(x))=x,因此对任意实数x,y有 xy=g(f(xy))=g(f(x)+f(y))，设x=g(t1) y=g(t2)，∴g(t1)·g(t2)=g(f(g(t1)+f(g(t2)))=g(t1+t2) 即g(x+y)=g(x)·g(y).
12、
?1?x??0(1)由?1?x得f(x)的定义域是(－1,1).
??x?2?0设－1＜x1＜x2＜1,则f(x2)－f(x1)=(1?x21?x111?)?(lg?lg) x2?2x1?21?x21?x1=
x1?x2(1?x2)(1?x1). ?lg(x2?2)(x1?2)(1?x2)(1?x1)x1?x2?0.
(x2?2)(x1?2)由于－1＜x1＜x2＜1则(x2+2)(x1+2)＞0 x1－x2＜0，∴又(1－x2)(1+x1)＞0 (1+x2)(1－x1)＞0， (1－x2)(1+x1)－(1+x2)(1－x1)=2(x1－x2)＜0，∴
(1?x2)(1?x1)?1.
(1?x2)(1?x1)∴lg(1?x2)(1?x1)?0.于是f(x2)－f(x1)＜0.∴f(x)在(－1,1)上是减函数。
(1?x2)(1?x1)111 ∴f?1()?0，即x=是方程f -1(x)=0的一个根。 2221假设f -1(x)=0还有一个解x1≠，则f -1(x)=0.
21根据函数的定义：f(0)= x1≠矛盾，∴f -1(x)=0有唯一解。
2
(2)∵f(0)=
13、
∵0＜
1＜1,∴－x2＋2x为减函数的区间为[1,＋∞),也就是y为增函数的区间. 214、
32＞23
15、
当a＞1时，定义域是(－?，0]；当0?a?1时，定义域是[0，＋?)
16、
??lg15?35?115?11??4?2??1?4?2??解： 原式=? ?lg15?2??3
17、
－1＜x≤1
18、
logn(n+1)＞log(n+1)(n+2)
19、
x=0
20、
x=3或x=
1921、
f?1(x)??x?1(x??1)
22、
x=0.16
23、
x=
1×10－4 4924、
564是45位数,且564=6.324×1044.
25、
(1)x=±2; (2)x=1.
26、
(1)x=log23; (2)x=－3或x=3+log32.
27、
(1)当a=1时,方程有无穷多解,x＞1; (2)当a≠1时,
①|a+1|≠1时,方程有唯一解x=
lg|a?1|;
lg|a?1|②|a+1|=1时,
(i)a=0时,方程有无穷多解x∈R; (ii)a=－2时,无解.
28、
2321解：变形为1＋2·()x?()x，设()x=y，1＋2y=，
323y 解得y=-1(舍)，y=
1211.∴()x?，∴x=log2. 2322329、
f(x)max=7，f(x)min=
23. 430、
解： (1)函数f(x)的定义域由下面不等式组确定 ?x?1?x?1?0(1)??x?1?0(2) 由(1)、(2)得： x＞1,由(3)得：x＜p. ?p?x?0(3)??∵函数的定义域为非空集合,故p＞1. 因此,函数的定义域是{x|1＜x＜p}.
2??p?1?(p?1)2?(2)函数f(x)=log2[(x+1)(p－x)]=log2???x????(1?x?p)
2?4?????p?1?1,得 p≤3. 2∴当1＜p≤3时,函数f(x)无最大值和最小值.
p?1?p,得p＞3 令1?2令
∴当p＞3时,f(x)有最大值,但无最小值.且x?p?1时, 2(p?1)2f(x)取得最大值log2,即2log2(p+1)－2.
4