2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填
写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P(A)+P(B) S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 P（A-B）=P(A)-P(B)
一、选择题
（A）?1,4? （B）?1,5? （C）?2,4? （D）?2,5?
【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ A?B?{1,3,5}，∴CU(A?B)?{2,4}故选 C . （2）不等式
x?3＜0的解集为 x?2（A）x?2?x?3 （B）xx??2 （C）xx??2或x?3 （D）xx?3 【解析】A ：本题考查了不等式的解法
????????x?3?0 ∵ x?2，∴ ?2?x?3，故选A
（3）已知sin??2，则cos(x?2?)? 3
1
（A）?1155（B）?（C）（D）
9933【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，
cos(??2?)??cos2???(1?2sin2?)??∴
（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A）y=ex?119
-1(x>0) (B) y=ex?1+1(x>0) +1 (x ?R)
(C) y=ex?1-1(x ?R) (D）y=ex?1【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
ln(x?1)?y?1,x?1?ey?1,y?ex?1?1
?x??1?(5)若变量x,y满足约束条件?y?x 则z=2x+y的最大值为
?3x?2y?5?（A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 ∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与∴即为（1，1），当x?1,y?1时
y?x 与3x?2y?5的交点为最优解点，
zmax?3
(6)如果等差数列?an?中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+?…+a7= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析】C：本题考查了数列的基础知识。
1a1?a2???a7??7?(a1?a7)?7a4?28a?a4?a5?12，∴ a4?42∵ 3
（7）若曲线y?x?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则
（A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1 【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵
2y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1
（8）已知三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面
ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为
2
（A）
35 (B) 4437 (D)
44(C)
【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交S SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠
F AE?3ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，C E B
33sin?ABF?4 AS=3，∴ SE=23，AF=2，∴
A
（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信
22C?63C?18 44封有，余下放入最后一个信封，∴共有
????????（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , ????b= 2, 则CD=
（A）
a= 1 ，
12213443a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b 33335555【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识
BDBC1????????????????∵ CD为角平分线，∴ ADAC2，∵ AB?CB?CA?a?b，∴ ????2????2?2??????????????2?2?2?1?AD?AB?a?bCD?CA?AD?b?a?b?a?b333，∴ 3333
（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【解析】D：本题考查了空间想象能力
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，
3
x2y23（12）已知椭圆C：2?2?1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）
ab2????????的直线于C相交于A、B两点，若AF?3FB。则k =
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
3????????e?A(x1,y1),B(x2,y2)，∵ AF?3FB，∴ y1??3y2， ∵ 2，设【解析】B：
222x?4y?4t?0，a?2t,c?3t，b?t，∴ 直线AB方程为x?sy?3t。代入消去x，
23stt2y1?y2??2,y1y2??2222(s?4)y?23sty?t?0s?4s?4， ∴ ，∴
123stt22s2??2y2??2,?3y2??22，k?2 s?4s?4，解得
（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
255 ：本题考查了同角三角函数的基础知识 【解析】
?tan??? ∵
125cos???2，∴5
(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识
1Tr?1?C9rx9?r()r3C?84 9?2r?3,r?3x9∵ ，∴ ，∴
(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为A，与C的一个交点为B，若
的直线与l相交于
，则p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
?????????22y?2px3x?(?6?2p)x?3?0y?3x?3设直线AB：，代入得，又∵ AM?MB，
x?∴
1p?22p?4P?12?0，解得p?2,p??6（舍去） 2，解得
（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共
弦，AB?4，若OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? 。 【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识
4
∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为7，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=3，同理可得O B N M E A ME?3，在直角三角形ONE中，∵ NE=3，ON=3，∴
?EON??6，∴
?MON??3，
∴ MN=3
三、解答题；本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）
?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD。 135【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。
（18）（本小题满分12分）
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且
a1?a2?2(11111?)，a3?a4?a5?64(??) a1a2a3a4a5（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?(an?12)，求数列{bn}的前n项和Tn。 an【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于
a1与d的方程求得a1与d，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。 （19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
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