即(2n?2)an?(n?1)an?1?(n?1)an?1，即2an?an?1?an?1（n≥3）， 当n?2时，有2S2?a3?3a1，即2a2?a3?a1， 所以2an?an?1?an?1对任意n≥2，n?N*恒成立，
所以数列{cn}是等差数列． ?? 8分 设数列{cn}的公差为d，
① 若c2017?2018，则c1?2016d?2018，即d?2018?c1，
2016因为数列{cn}的各项均为不等的正整数，所以d?N*，
所以d?1，c1?2，所以cn?n?1． ?? 12分 ② 若c1?p，则cn?dn?p?d，
由c1，cs，ct成等比数列，得cs2=c1ct，所以(ds?p?d)2?p(dt?p?d)， 即(p?d)(2ds?p?d?p)?d(ds2?pt)?0 化简得，p(t?1?2s)?d(s?1)2，
sp． ?? 14分 即d?t?1?22(s?1)s?N*， 因为p是任意给定正整数，要使d?N*，必须t?1?22(s?1)s，由于s是任意给定正整数， 不妨设k?t?1?22(s?1)≥(s?1)2?2s?1?s2． ?? 16分 所以t?k(s?1)2?2s?1
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21A. 【解】连接CB
因为AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，
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所以AB?BD
因为BD∥CE，所以AB?CE
因为AB交CE于M，所以M为CE的中点， 所以AC=AE，?CAB??EAB????????5分
因为BD是⊙O的切线，所以∠ABD=90° CMBAED因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90° 所以∠ACB=∠ABD
因为?CAB??EAB，所以△ACB∽△ABD 所以
ACABAB?AD，所以AB2?AD?AC 即AB2?AE?AD????????10分
21B. 【解】?0?1??12??0?1??10?????01?????12?． ?设A(a,b)，则由?0?1???a??12????b?????3????b??3,?4?，得???a?2b?4.． 所以??a??2,?b?3,即A(?2,3)． 21C．【解】由??x?3t?1?y?4t?3(t为参数）
，可得直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0， 由??2acos?(a?0)得?2?2?acos? 所以，圆C的标准方程为(x?a)2?y2?a2， 若直线l与圆C恒有公共点， 所以，4a?542?(?3)2?a
所以，实数a的取值范围a??59或a?5． ………10分
21D．【解】由于a,b,c?0，
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?? 4分 ?? 8分 ?? 10分
所以
3213321???(a?b?3c)(??)abc2abc
?(a3321??3c)2?(3?3?3)2?27 a2bc3ba23c 当且仅当??，即a:b:c?3:2:1时，等号成立.
321abc321??的最小值为27. ?? 10分 abc????????????22.解：以BC的中点O为原点，分别以BC,AO,OF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建
所以
立空间直角坐标系O?xyz， （1）设AB?a,AA1?b，
3111a,b)，M(?a,0,2b)，C1(a,0,b) 所以，C(a,0,0)，A1(0,?2222????????????90若?MAC，则AM?AC?0， 111ZM?1??1?33?a,a,b?a,a,?b所以，????22???22??0，所以，a?2b， ?????????????????0,?n1?AC1??????? 设面CA1M的法向量为n1??x,y,z?，所以，????n1?CM?0,A1B1C1AOB??????1?32?????AC?a,a,?aCM??a,0,2a， 又因为，1，???22?2??Cxy???132???ay?az?0,?ax? 所以，n1?2,0,2， 22即?2??ax?2az?0,??????????2??a,0,a?又因为C1M??，设直线C1M与平面CA1M所成角为?， ??2??高三数学试卷 第 18 页 共 20 页
所以，sin???a6a?62?1， 31。 ……5分 3所以，直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值为（2）连结CM交B1C1于点F，则OF⊥面ABC,
?????1??????32?a,a,0AA?0,0,a?又因为，AC?? ，??1?22???， 2????????????????n2?AC?0,?????? 设面AA1C1C的法向量为n2??x,y,z?，所以，??n?AA?0,??11?13ay?0,?ax?????22 所以，n1??3,3,0， 即??2az?0,??2????????cosn,n?所以，12?6612?2， 2所以，面CA1M与面AA1C1C所成的锐角二面角为45?。 ……10分
k?23. 解析：（1）由kCnk?n(n?1)(n?2)?(n?k?1)(n?1)(n?2)?(n?k?1)k?1?n?nCn?1
k!(k?1)!kk?1 所以kCn?k?(n?k)Cn?k?1 ． ?? 3分
法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下：
k kCn?k?k?1008(n?k)!n(?k?1)!k?1?(n?k)??n(?kC)n?k?1 ?? 3分
k!?(n?k2)!k?(n1?)!k(2)!(?1)n11111n01231008C2017C2017?C2016?C2015?C2014??C1009 （2）? ?n?2017?n20172016201520141009n?0 ??1?012310081008?123C?(1?)C?(1?)C?(1?)C??(1?)C1009? 20172016201520142017?2016201520141009??1?012310081001231008123(C?C?C?C??C)?(C?C?C??C100201720162015201410092016201520142017?2016201520141009?
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由（1）得， 则有
kkk?1，n=2017,k依次取1,2，……， Cn?1?Cn?k?1n?k121008100810211007 C2016?C2015,C2015?C2014,?C1009?C1008201620151009所以，…… 原式?6分
0122?Cn 构造数列?an?，令an?Cn?1?Cn?2?Cn?3??
10?(C2017?C12016?C22015?C32014??C?201710081009)?(C0?C20151?2014C2?2013?C1007?? ?)?1008
0122 则an?1?Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2??
01220122 所以an?1?an?(Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2??)?(Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2??)
00112233 ?(Cn?1?Cn)?(Cn?Cn?1)?(Cn?1?Cn?2)?(Cn?2?Cn?3)??
012 ??Cn?1?Cn?2?Cn?3????an?1
所以an?1?an?an?1，即an?2?an?1?an?(an?an?1)?an??an?1， 即an?3??an，所以an?6??an?3?an，即数列?an?是周期为6的数列．
又因为a1?1,a2?0,a3??1,a4??1,a5?0,a6?1,?a2017?a1?1,a2015?a5?0
(?1)n11nC2017所以?． ?? 10分 ?a2017?a2015???n?20172017n?02017?n1008
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