高中数学第一轮复习学案 三 角 函 数
第04讲 解三角形及应用问题
广东高考考试大纲说明的具体要求：
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 （一）基础知识梳理：
1．解三角形的主要依据：
（1）勾股定理：在RT△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则c2=_________________; （2）三角形的内角和定理：在△ABC中，A+B+C=__________, 其中A，B，C∈___________; （3）三角形的面积公式：S△=________=_________=_________;
（4）正弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则_______________________; （5）余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则a2=___________________,
b2=_____________ _________, c2=________________________;
2．解三角形的主要题型：
在△ABC的六个边、角元素中，已知其中任意三个（至少有一个是边），就可以求出其他元素。 （1）已知两角一边：用________定理求解；
（2）已知两边及一边的对角，求角：用________定理求解；
（3）已知两边及一边的对角，求第三边：用________定理求解； （4）已知两边及其夹角，求第三边：用________定理求解； （5）已知三边：用________定理求解；
（二）典型例题分析：
题型一：基本题型， 知三求三
例1：（1）（2005北京文）在△ABC中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为 ． （2）(2008陕西文) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c?则a? ．
2，b?6，B?120?,
（3）在△ABC中，a:b:c?3:5:7，则△ABC的最大角是_________。
基础训练（一）：
1．ΔABC中, a=2 , b=23, ∠A=30°,则∠B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．a=1,b=2,∠A=100° D．b=c=1, ∠B=45°
3.在△ABC中，a?c?b?ab，则角C为 （ ）
（A）30 （B）60 （C）120 （D）45或135 4．（2006江苏）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 5．（2006全国Ⅱ卷理）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中
线AD的长为 ．
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题型二：解三角形的综合应用：
例2. 如图，在四边形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的长.
基础训练（二）：
1. 在△ABC中，bcosA=acosB，则△ABC的形状是 （ ）
（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）等腰三角形 （D）等边三角形 2.(2008四川文)?ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a? （Ａ）
5b,A?2B,则cosB?( ) 25555 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 34563.（2006上海春招） 在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，则cos2C? .
4. 在△ABC中，三个内角成等差数列，相对应的三边成等比数列，判断这个三角形的形状，并证明你的结论。
5.(2007上海文、理) 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a?2,C?π，
4cosB25?，求△ABC的面积S． 25
6．(2008全国Ⅰ卷文)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?3，bsinA?4． （Ⅰ）求边长a； （Ⅱ）若△ABC的面积S?10，求△ABC的周长l．
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题型三：解三角形的实际应用：
例3.(2007海南、宁夏文、理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
例4.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西15，相距102海里C处的乙船。试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（说明：此题是依据2006上海文、理试题改编）
?
基础训练（三）：
1．两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距 （ ）
A．a (km) B．3a(km) C．2a(km) D．2a (km)
2．从某电视塔的正东方向的A点处，测得电视塔顶的仰角是60°；从电视塔的正西偏南30°的B处，测得电视塔顶的仰角为45°，A、B间距离是35m，则此电视塔的高度是_________米.
3.（2007山东理）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
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4．(2008上海文、理)如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．
C A 1200
O
5．如图，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60、港口B北偏西30方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘快船从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？
北 A
C
B O 东
oo6..某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上B有一人正沿着此公路向A走去，走20km 到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A 还有多远？
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参考答案
第04讲 解三角形及应用问题
（二）典型例题分析：
题型一：基本题型， 知三求三
例1：（1）2． （2）2． （3）__120°__。
基础训练（一）：
1． B． 2．D． 3.B. 4．46. 5．3．
题型二：解三角形的综合应用：
222例2. 解：在△ABD中，设BD=x , 则BA?BD?AD?2BD?AD?cos?BDA
即14?x?10?2?10x?cos60 整理得：x?10x?96?0
解之：x1?16 x2??6（舍去） 由余弦定理：
2222?BCBD ∴?sin?CDBsin?BCD16?BC??sin30?82 ?sin135
基础训练（二）：
1.C. 2.Ｂ. 3.
7. 25
4. 解：△ABC为等边三角形。
OO
证明：由A，B，C成等差数列，得A+C=2B，A+B+C=180，解得，B=60,
2
又三边a、b、c成等比数列，所以b=ac,
222O222
由余弦定理，得b=a+c-2accos60,即ac=a+c-ac, (a-c)=0,所以a=c， 所以，△ABC为等边三角形。
435. 解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，
55?3π?72sinA?sin(π?B?C)?sin??B??，
10?4?10111048由正弦定理得 c?，? S?ac?sinB??2???．
227577
6. 解：（1）由bsinA?4与acosB?3两式相除，有：
4bsinAsinAbsinBbsinB22，又sinB?cosB?1 ??????3acosBacosBbcosBcosB34由acosB?3知：cosB?0， 所以cosB?，sinB?，
553所以a?3，解得a?5．
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