石室中学高2013届数学适应性试题（一）（文科）
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.已知全集U={l，2，3，4，5}，集合A={l，2．4}，集合B={l，5}，则A?CUB（ ） A．{2,4} B．{1，2,4} C．{2,3,4,5} D．{l,2,3,4,5} 【解析】CUB?{2,3，4}，所以A?CUB?{2,4}，选A. 2.已知i是虚数单位，则
i的虚部是（ ） 1?i1111A．i B．?i C． D．?
2222i11【解析】=?i，选C．
1?i223.等差数列?an?的前n项和为Sn，若a3?a9?a13?a10?，则S21的值是9
（ ）
A．1 B． ?1
43C． 0 D．不能确定
【解析】a3?a9?a13?a19?4a11?0,?a11?0,S21?21a11?0。选C． 4.函数y?x的图象是（ ）
A.
43 B.
3 C. D
【解析】y?x?快，故选A
x4，故是偶函数，指数大于1，在第一象限单调递增，且增得越来越
x2y25.已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程
ab为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 20520805208020【答案】A
x2y2【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.
ab1
又?C 的渐近线为y??222bbx，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1??2，即a?2b. aax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.
2056.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.2??23 B. 4??23 C. 2??【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2?,四棱锥的底面 边长为2，高为3，
2323 D. 4?? 332 2 所以体积为?13??2?3?223 32 2 正(主)视图 2 侧(左)视图
所以该几何体的体积为2??23. 3答案:C
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.
7.设a,b,c分别△ABC俯视图
是的三个内角A,B,C所对的边，若
a?1,b?3,则A?30?是B=60?的（ ）
A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；
C.充要条件； D.既不充分也不必要条件； 【解析】若a?1,b??A?3a,?bB,??6或0，由正弦定理得sinB?bsin3,A?30a2B?120?
反之，a?1,b?3,B?60?则sinA?asinB?1,a?b,A?30，故选B
?b28.已知线段AD∥平面?，且与平面?的距离为4，点B是平面?内的动点，且满足AB=5，
AD=10，则B、D两点之间的距离 （ ） A．有最大值55，无最小值； B．有最小值65，无最大值； C．有最大值55，最小值65； D．有最大值185，最小值65； 解析：记A、D在面?内的射影分别为A1、D1，∵AB=5，AA1=4，∴A1B=3，即B在面?内以A1为圆心、3为半径的圆周上，又A1D1=10，故D1B最大为13，最小为7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD最大185，最小65，选D。
2
????????????????9.在平行四边形ABCD中，AE?EB,CF?2FB,连接CE、DF相交于点M，
?????????????若AM??AB??AD,则实数?与?的乘积为（ ）
1433 B． C． D． 4384A．
?????????????【解析】因为E,M,C三点共线，所以设AM?xAE?(1?x)AC,则
?????x?????????????????x???AM?AB?(1?x)(AB?AD)?(1?)AB?(1?x)AD。同理D,M,F三点共线，所以
22?x1??y???????????????????????2y?????2)AD，所以有?设AM?yAF?(1?y)AD,则AM?yAB?(1?，解得
2y3?1?x?1??3??????3????1????331313y?，即AM?AB?AD，所以??,??，即?????，选B.
44242428
法二：直接以AD、AB为两正交基底建系，写出直线方程，求出M点坐标。选B. 10.已知函数f(x)满足：①定义域为R；②?x?R，有f(x?2)?2f(x)；③当x?[?1,1]时，f(x)??|x|?1．则方程f(x)?log4|x|在区间??5,5?内的解个数是（ ）
A．10
B．7 C．6 y 4 2 D．5
y?log4|x| 【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作出函数f(x)和y?log4|x|的图象如右图， 由图易知，y?f(x)与y?log4|x|的图象在
1 y?log4|x|
12 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 x ??5,0?有两个交点，在?0,5?内有4个
交点，故方程f(x)?log4x在区间??5,5?内共有6个解．选C．
3
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. sin75?的值等于 ．
【解析】sin75??sin45?cos30??cos45?sin30??
12.若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出 的B等于 。
【解析】第一次循环，B?2?1?3,A?1?1?2;
第二次循环，B?2?3?1?7,A?2?1?3;第三次循环，
6?2 4B?2?7?1?15A,??3?1B?2?15?1?31,A?4?1?54;
;
第第
四五
次次
循循
环环
，，
B?2?31?1?63,A?5?1?6;第六次循环，满足条件
输出B?63。填63 13.给出下列等式：
2?2cosπ，
42?πs2?2co， 82?2?πs， …… 2?2co16请从中归纳出第nn?N*个等式：2????2?2? ．
???????n个2????【解析】易得第nn?N*个等式：2????2?2?2cos?； ????????n?1n个2
?2x?y?0?14.已知变量x、y，满足?x?2y?3?0,则z?1og2(2x?y?4)的最大值为
?x?0?
4
【解析】设t?2x?y，则y??2x?t。做出不等式组对应的可行域如图为三角形OBC内。做直线y??2x，平移直线y??2x，当直线y??2x?t经过点C时，直线y??2x?t的
截距最大，此时t最大，对应的z也最大，由??2x?y?0,得x?1,y?2。即C(1,2)代
x?2y?3?0?入t?2x?y得t?4，所以z?1og2(2x?y?4)的最大值为
z?1og2(2x?y?4)?log2(4?4)?log28?3，填3.
15.已知点P是直线l:ax?y?1上任意一点，直线l垂直于直线y??x?m，EF是圆M：
????????x2?(y?2)2?1的直径，则PE?PF 的最小值为 ．
??????????????????????????P（x，y）【解析】：设点，则PE?PF?(PM?ME)?(PM?MF)=
???????????????????????2????222因l:ax?y?1垂直于直线(PM?ME)?(PM?ME)?PM?ME=x?(y?2)?1，
y??x?m，则a?1，所以l:x?y?1由点P在直线上，所以x?y?1，即x?1?y，
????????2121122由此可得PE?PF=x?(x?1)?1?2x?2x?2(x?)?，当x?-时，取得最小值
22211为-．【答案】：-
22三：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
n2?3n16.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn?．
2(I) 求数列{an}的通项公式；
(II) 若bn?an?2n，{bn}的前n项和为Tn，求Tn； 解：(I)当n=1时，a1?S1?2；
n2?3n?n?1??3?n?1?当n≥2时，an?Sn?Sn?1???n?1， 22*∴ an?n?1n?N．
2??(II)错位相减： Tn?n?2n?1
17.（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学
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