生成绩样本，得频率分布表如下：
组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [230，235) [235，240) [240，245) [245，250) [250，255] 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00 合 计 （1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学
生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名
是第四组的概率．
解：（1）①的位置为12，②的位置为0。30……4分
61?，所以第三、四、五组抽中的人数为3、2、1……8分 30563?……12分 （3）设2人中至少有1名是第四组为事件A，则P(A)?1?155AB?BC?2，O是18.（本小题满分12分）长方体ABCD?A1BC11D1中，AA1?2，（2）抽样比为
底面对角线的交点.
(Ⅰ) 求证：B1D1//平面BC1D； (Ⅱ) 求证：AO?平面BC1D； 1(Ⅲ) 求三棱锥A1?DBC1的体积。
解:(Ⅰ) 证明：依题意：B1D1//BD， 且B1D1在平面BC1D外．…2分 ∴B1D1//平面BC1D ……3分
(Ⅱ) 证明：连结OC1∵BD?AC AA1?BD ∴BD?平面ACC1A1…………4分 又∵O在AC上，∴AO1在平面ACC1A1上 ∴AO?BD……5分 1∵AB?BC?2 ∴AC?AC11?22
6
∴OA?22AO?AA?OA?2…6分 中，2∴Rt?AAO11122同理：OC1?2∵?AOC?OC12?AC11中，AO111
∴AO?OC1 …7分，∴AO?平面BC1D……8分 11(Ⅲ)解：∵AO?平面BC1D∴所求体积 1111142V??AO??BD?OC …12分 ??2??22?2?113232319.（本小题满分12分）在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且满足
????????????????(2a?c)BA?BC?cCB?CA.
（1）求角B的大小；
????????（2）若|BA?BC|?6，求?ABC面积的最大值.
解：（1）条件可化为：?(2a?c)cosB?bcosC．根据正弦定理有
(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC． ∴2sinAcosB?sin(C?B)，
……6分
由基本不等式可知6?a2?c2?2ac?2ac?2ac?(2?2)ac． 即ac?3(2?2)， 故△ABC的面积S?123(2?1)acsinB?ac?． 242 即当a =c=6?32时，△ABC的面积的最大值为20.（本小题满分13分）设点A?3,0，B3(2?1)． ……12分 2???3,0，直线AM、BM相交于点M，且
?2. 3 （1）求动点M的轨迹C的方程；
它们的斜率之积为? （2）若直线l过点F(1,0)且绕F旋转，l与圆O:x?y?5相交于P、Q两点，l与 轨迹C相交于R、S两点，若PQ??4,19?，T(?1,0)，求?TRS的面积的最大值和
22??最小值。
解：（Ⅰ）设M(x,y)，则kMA?kMB?yy2???(x??3)
3x?3x?37
x2y2x2y2?1(x??3)……………………4分 ??1 ?轨迹C的方程为?化简
3232（Ⅱ）设l:x?my?1，O到l的距离d?11?m2，?|PQ|?25?1?[4,19] 21?m?0?m2?3，将x?my?1代入轨迹C方程并整理得：(2m2?3)y2?4my?4?0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则y1?y2??24m4yy??， 12222m?32m?316m216 ?|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??222(2m?3)2m?313(m2?1) ?S??|y1?y2|?|FT|?4222(2m?3)2设m?1?t?[1,4]，则f(t)?4t?在[1,4]上递增，?f(t)?[5,1t
65] 4?S??43t?2(2t?1)4314?(4t?)t?Smin?4383，Smax?…………………………………………………………13分
3912ax?(2a?1)x?2lnx(a?R). 221.（本小题满分14分）已知函数f(x)?(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)设g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)?g(x2)，求
2a的取值范围.
解：f?(x)?ax?(2a?1)?2(x?0). ………………2分 x2. ………………3分 3（Ⅰ）f?(1)?f?(3)，解得a?（Ⅱ）f?(x)?(ax?1)(x?2)(x?0). ………………5分
x①当a?0时，x?0，ax?1?0，
在区间(0,2)上，f?(x)?0；在区间(2,??)上f?(x)?0，
故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??). ………………6分
8
②当0?a?11时，?2， 2a1a1a
在区间(0,2)和(,??)上，f?(x)?0；在区间(2,)上f?(x)?0，
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(,??)，单调递减区间是(2,). …………7分
1a1a1(x?2)2③当a?时，f?(x)?， 故f(x)的单调递增区间是(0,??). ………8分
22x④当a?11时，0??2， 2a1a1a在区间(0,)和(2,??)上，f?(x)?0；在区间(,2)上f?(x)?0，
故f(x)的单调递增区间是(0,)和(2,??)，单调递减区间是(,2). ………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)max?g(x)max. ………………10分 由已知，g(x)max?0，由（Ⅱ）可知， ①当a?1a1a1时，f(x)在(0,2]上单调递增， 2故f(x)max?f(2)?2a?2(2a?1)?2ln2??2a?2?2ln2， 所以，?2a?2?2ln2?0，解得a?ln2?1，故ln2?1?a?②当a?1. ……………12分 2111时，f(x)在(0,]上单调递增，在[,2]上单调递减， 2aa1a1?2lna. 2a故f(x)max?f()??2?由a?111可知lna?ln?ln??1，2lna??2，?2lna?2， 22e所以，?2?2lna?0，f(x)max?0， …………14分 综上所述，a?ln2?1.
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