P1?P(AB)?P(AB)?0.6?0.25?0.4?0.75?0.45． ????4分
（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是 P(AB)=P(A)P(?B)0?P
1 ????5分 0.?40.?2．5 0.因为每个人的选择是相互独立的，
所以3人中选择不参加培训的人数?服从二项分布B(3，0.1)， ????6分
k1，2，3， ????8分 且P(??k)?C3?0.1k?0.93?k，k?0，即?的分布列是
? P 0 0.729 1 0. 243 2 0.027 3 0.001 ???10分
所以，?的期望是E??1?0.243?2?0.027?3?0.001?0.3． ???12分 （或?的期望是E??3?0.1?0.3．） 18.（本小题满分12分）设A?{xx?k???2已知a?(2cos，k?Z}，???2，sin???2 )，b?(cos???2，3sin???2)，其中?、??A． ??2?(1)若????，且a?2b，求?、?的值； 3(2)若a?b?5，求tan?tan?的值． 212???，∴a = (1，sin(??))，b = (，3sin(??)) 2分 3332(1)解：∵???? 由a = 2b，得sin(??(k ?Z) 6分 331?cos(???)??????(2)解：∵a·b = 2cos22cos( )?3sin2?1?cos(???)?3?22253 =?cos(???)?cos(???) 8分
225353 ∴?cos(???)?cos(???)?，即 cos(???)?cos(???) 10分
22221 整理得?5sin?sin??cos?cos?，∵?、??A，∴tan?tan???． 12分
53?)?0，∴??k???，???k???
6
19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，
?平面ADNM⊥平面ABCD，?DAB?60，AD?2，AM?1，E是AB的中点.
(1)求证：AN//平面MEC；
N (2)在线段AM上是否存在点P，使二面角
?M P?EC?D的大小为？若存在，求出
6AP的长h；若不存在，请说明理由.
D 解(1)连接BN，设CM与BN交于F，
连接EF.由已知，MN//AD//BC，MN?AD?BC，
E B 故四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点. A
又因为E是AB的中点，所以AN//EF.???3分 因为EF?平面MEC，AN?平面MEC， 所以AN//平面MEC.?????4分 (2)假设在线段AM上存在点P， 使二面角P?EC?D的大小为
C
?. 6法一:
延长DA、CE交于点Q，过A做
AH?EQ于H，连接PH.
因为ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD， 所以MA⊥平面ABCD，又EQ?平面ABCD，
所以MA⊥EQ，EQ?平面PAH所以EQ?PH，?PHA为二面角P?EC?D的
平面角. 由题意?PHA?在
?6.?????7分 ，
?QAE中AE?1，
AQ?2，
?QAE?120?，则
EQ?12?22?2?1?2cos120??7 AE?AQsin120?3所以AH?.?????10分 ?EQ7又在Rt?PAH中，?PHA??6，所以AP?AH?tan30??3317????1. 7377
z N 所以在线段AM上存在点P，使二面角
P?EC?D的大小为
?， 67此时AP的长为.??????12分
7 M F D x E B 7 法二:
由于四边形ABCD是菱形，
E是AB的中点，?DAB?60? ,
所以?ABC为等边三角形，可得DE?AB.
又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD， 所以DN⊥平面ABCD.
如图建立空间直角坐标系D?xyz.???5分
P A
C y
则D(0,0,0)，E(3,0,0)，
C(0,2,0)，P(3,?1,h).
????????CE?(3,?2.0)，EP?(0,?1,h).??7分 设平面PEC的法向量为n1?(x,y,z).
???????3x?2y?0,?CE?n1?0,则????,所以? ??y?hz?0.????EP?n1?0.令y?3h.所以n1?(2h,3h,3).??????9分 又平面ADE的法向量n2?(0,0,1),??????10分 所以cos?n1,n2??即
n1?n23?.??????11分
n1?n2237，解得h??1.所以在线段AM上存在点P，使二面角2277h?3?7P?EC?D的大小为，此时AP的长为.??????12分.
67?3
20.（本小题满分13分）设点A?3,0，B???3,0，直线AM、BM相交于点M，且
?2. 3 （1）求动点M的轨迹C的方程；
它们的斜率之积为? （2）若直线l过点F(1,0)且绕F旋转，l与圆O:x?y?5相交于P、Q两点，l与 轨迹C相交于R、S两点，若PQ??4,19?，T(?1,0)，求?TRS的面积的最大值和
22??最小值。
解：（Ⅰ）设M(x,y)，则kMA?kMB?yy2???(x??3)
3x?3x?3x2y2x2y2?1(x??3)……………………4分 ??1 ?轨迹C的方程为?化简
3232（Ⅱ）设l:x?my?1，O到l的距离d?11?m2，?|PQ|?25?1?[4,19]
1?m2?0?m2?3，将x?my?1代入轨迹C方程并整理得：(2m2?3)y2?4my?4?0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则y1?y2??24m4yy??， 122m2?32m2?316m216 ?|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??222(2m?3)2m?38
13(m2?1) ?S??|y1?y2|?|FT|?42(2m2?3)2设m2?1?t?[1,4]，则f(t)?4t?在[1,4]上递增，?f(t)?[5,1t
65] 4?S??43t?(2t?1)24314?(4t?)t?Smin?4383，Smax?…………………………………………………………13分
39221.（本小题满分14分）21．已知函数f(x)?x?ax，g(x)?lnx。 （1）若f(x)?g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设r()x?()fx(?g)1?ax?1?对于任意的a??1,2?，总存在x??,1?，使不等式r(x)?k 成
22??立，求实数k的取值范围。
()?fx()gx()?（3）设hx3?1?有两个极值点x1，且x1??0,?，证明： x2，h(x1)?h(x2)??ln2。
4?2?221．解析：（Ⅰ）由题意：f(x)?g(x)?x?ax?lnx，(x?0)
分离参数a可得：
a?x?lnxx(x?0)??????（1分）
x2?lnx?1lnx/?(x)??(x)?x?x，则x2设??????（2分）
2y?x由于函数，y?lnx在区间(0,??)上都是增函数，所以
2y?x?lnx?1在区间(0,??)上也是增函数，显然x?1时，该函数值为0 函数
//?(x)?0?x?(0,1)x?(1,??)所以当时，，当时，(x)?0
所以函数?(x)在x?(0,1)上是减函数，在x?(1,??)上是增函数
所以?(x)min??(1)?1，所以a??(x)min?1即a?(??,1]??????（4分）
1?axax?1r(x)?f(x)?g()?x2?ax?ln22 （2）
9
a2?22ax(x?)2ax2?a2x?2xa|2a??r(x)?2x?a?ax?1ax?1ax?1所以??????（5分）
a2?2a1211?????a?(1,2)2a2a222 因为，所以
11x?(,??)x0?[,1]22时， 所以当时，r(x)是增函数，所以当r(x0)max?r(1)?1?a?lna?12，a?(1,2)??????（7分）
a?1对任意a?(1,2)，恒成立 21?aa?1a?(1,2)令m(a)?1?a?ln，，m?(a)??1???0
a?1a?1233m(a)?m(2)?ln?1，所以k?ln?1??????（9分）
22所以，要满足题意就需要满足下面的条件：k?1?a?ln
2x2?ax?1h(x)?,(x?0)2h(x)?x?ax?lnxx（3）由题意知道：，且
|1x1?(0,)2， 所以方程2x?ax?1?0(x?0)有两个不相等的实数根x1,x2，且
211x??(1,??)2x1x2?,2ax?2x2xi?1,(i?1,2)????（11分） 2所以1又因为，且i而h(x1)?h(x2)?(x1?ax1?lnx1)?(x2?ax2?lnx2)
22?[x1?(2x1?1)?lnx1]?[x2?(2x2?1)?lnx2]
2222?x2?x1?ln22x12?x2x2112x21222?x??ln2x?()?ln2222x2x24x2，(x2?1)
(2x2?1)21/2u(x)??0u(x)?x?2?ln2x,(x?1)34x2x设，则
2u(x)?u(1)?所以
33?ln2h(x1)?h(x2)??ln244，即??????（14分）
10