第三章 三角函数A
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与?终边相同的角连同角?本身，可构成一个集合
S??????k?360?,k?Z；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度
与弧度的互换，能运用弧长公式l????r及扇形的面积公式S＝lr（l为弧长）解决问题.
122． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点P(x,y)（不同于坐标原点），设OP?r（r?义为：sin??x2?y2?0），则?的三个三角函数值定
yxy,cos??,tan??． rrx从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为
{?|??R,??k???2,k?Z}．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、
????、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 64324． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】
13?
?121． ?885化成2k???(0???2?,k?Z)的形式是 ．
?6???所在的象限是 第二或第四象限 ． 2125? ?
5133．已知角?的终边过点P(?5,12)，则cos?= ， tan?= ．
2．已知?为第三象限角，则4．
tan(?3)sin5的符号为 正 ．
cos85．已知角?的终边上一点P(a,?1)（a?0），且tan???a，求sin?，cos?的值．
解：由三角函数定义知，a??1，当a?1时，sin???22，cos??； 22第1页 【精讲精练】共9页
当a??1时，sin???【范例解析】
22，cos???．
22例1.（1）已知角?的终边经过一点P(4a,?3a)(a?0)，求2sin??cos?的值； （2）已知角?的终边在一条直线y?3x上，求sin?，tan?的值． 分析：利用三角函数定义求解．
34sni?cos?，cos??，则255342当a?0时，r??5a，sin??，cos???，则2sin??cos??．
555解：（1）由已知x?4a，r?5a．当a?0时，r?5a，sin???（2）设点P(a,3a)(a?0)是角?的终边y?3x上一点，则tan??3； 当a?0时，角?是第一象限角，则sin?????；
253； 23． 2当a?0时，角?是第三象限角，则sin???点评：要注意对参数进行分类讨论．
例2.（1）若sin??cos??0，则?在第_____________象限．
???，cos，tan中能确定是正值的有____个． 222解：（1）由sin??cos??0，得sin?，cos?同号，故?在第一，三象限．
（2）若角?是第二象限角，则sin2?，cos2?，sin（2）由角?是第二象限角，即
?2?2k??????2k?，得
?4?k???2??2?k?，
??4k??2??2??4k?，故仅有tan?2为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例3. 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角?等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为l?(20?2x)㎝，故面积为y?当x?5时，面积最大，此时x?5，l?10，??2所以当??2弧度时，扇形面积最大25cm．
1(20?2x)x??(x?5)2?25， 2l?2， x点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
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【反馈演练】
二 象限． 1．若sin??cos?且sin??cos??0则?在第_______三 象限． 2．已知??6，则点A(sin?,tan?)在第________
3．已知角?是第二象限，且P(m,5)为其终边上一点，若cos???
4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为 12 ．
16? 2?5．若4????6?，且?与?终边相同，则?= 3 ． 1
3?sin2?3 ． m，则m的值为_______416．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______2，这个圆心角所在的扇形的面
1 积是___________1?cos1．
7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8cm，当扇形的中心角?(??0)为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积2cm；
22?2r?l?y16l??82，当且仅当r?22时取等号．此时，l?42，???2． （2）?1，得y?2r?rrrl?8??2第2课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系． 2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】
3 ． 1. tan600°=______? 513． 2. 已知?是第四象限角，tan???，则sin??______
123.已知cos?5?3???－3 ． ，且??，则tan?＝______????2?2?24.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知cos(???)?8，求sin(??5?)，tan(3???)的值． 17分析：利用诱导公式结合同角关系，求值． 解：由cos(???)?88?0，??是第二，三象限角． ，得cos???1717第3页 【精讲精练】共9页
1515，tan(3???)?tan???； 1781515若?是第三象限角，则sin(??5?)??sin??，tan(3???)?tan??．
178若?是第二象限角，则sin(??5?)??sin???点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
例2.已知?是三角形的内角，若sin??cos??1，求tan?的值． 5分析：先求出sin??cos?的值，联立方程组求解． 解：由sin??cos??1124?0． 两边平方，得1?2sin??cos??，即?2sin??cos???52525又?是三角形的内角，?cos??0，?由(sin??cos?)?2?2????．
497，又sin??cos??0，得sin??cos??． 25514??sin??cos??sin????4??55联立方程组?，解得?，得tan???．
3?sin??cos??7?cos???3??55??点评：由于(sin??cos?)2?1?2sin??cos?，因此式子sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二． 【反馈演练】
35? 441．已知sin??,则sin??cos?的值为_____5．
5is2．“nA?1”是“A=30o”的必要而不充分条件． 23．设0?x?2?,且1?sin2x?sinx?cosx，则x的取值范围是
?47? 1?3?4．已知sin??cos??，且≤?≤，则cos2?的值是 25 ．
5245．（1）已知cos????x?5? 41?2cos(???)?3sin(???)，且????0，求的值． 324cos(??)?sin(2???)（2）已知sin(x??6)?15???x)?sin2(?x)的值． ，求sin(4631，得tan???22． 3?2cos??3sin??2?3tan?5??2?2． 原式=
4cos??sin?4?tan?2?15??????x)?sin2(?x)?sin[??(x?)]?sin2[?(x?)] （2）?sin(x?)?，?sin(6463626解：（1）由cos???第4页 【精讲精练】共9页
??19?sin(x?)?cos2(x?)?．
661646．已知tan???，求
36sin??cos?（I）的值；
3sin??2cos?1（II）的值．
2sin?cos??cos2?46(?)?146sin??cos?6tan??173解：（I）∵ tan???；所以==?．
433sin??2cos?3tan??23(?)?2634（II）由tan???，
31sin2??cos2?tan2??15????于是． 222sin?cos??cos?2sin?cos??cos?2tan??13第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】
1
????21.sin163sin223?sin253sin313? ___________． ?
22cos(x?)
3． 2. 化简2cosx?6sinx?_____________3＋cos2x ． 3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________
4.化简：
sin??sin2?tan? ?___________ ．
1?cos??cos2?【范例解析】
??1(1?sin??cos?)(sin?cos)22(0????)． 2；例 .化简：（1）（2）??2?2cos?2tan(?x)sin2(?x)442cos4x?2cos2x?（=
1
）
分
析
一
：
降
次
，
切
化
弦
．
解
法
一
：
原
式
1(2cos2x?1)222sin(?x)?4cos2(?x)?4cos(?x)4??(2cos2x?1)24sin(?x)cos(?x)44???cos22x2sin(?2x)2??1cos2x． 2分析二：变“复角”为“单角”．
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