数学分析中一些问题的概率方法
数学专业02-（2）班：幸大伟 指导教师：胡爱莲 副教授
摘要：本文应用概率方法，讨论了数学分析中的一些积分计算、定理及公式的证明、积分不
等式及积分极限的证明和级数求和等问题的解决方法，从一个侧面展示了概率论的应用。
关键词： 密度函数；辛钦大数定律；伯努力大数定理; 中心极限定理。
概率论是数学的一个有特色得分支，它是一门既古老又新颖的学科，它一方面有自己独特的概念和方法，内容丰富、结果深刻、：另一方面，它与其它科学有紧密联系具有广泛的应用且它已广泛地用于自然科学、社会科学、工程技术军事和工业生产中。概率论研究随机现象及其规律性数学学科。本文介绍了用概率方法解决数学分析中一些问题的方法和技巧。
1. 一般定积分的计算。
首先讨论定积分的计算问题。先构造出适当的概率模型外，再进一步利用概率论中的有关知识解决问题。
例1 计算积分J=
?g?x?dx
ab
解：可通过下述概率方法来实现。任取一列相互独立且在?a,b?上都是均匀分布的随机变量
列
??k?，则?g??k??也是一列相互独立，且同分布的随机变量而且有：
1bJ???k?1,2??，故J=?b?a?Eg??k?。利用辛钦大数gxdx??Eg??k??b?a?ab?a定理：1?g??1????g??n???Eg??k?，从而当n足够大时就用?b?a??n1n?g??k?k?1n的
观察值即 J ??ba1ng?x?dx??b?a???g??k?。
nk?12. 数学分析中一些定理及公式的证明
例2 用大数定理证明数学分析中一著名定理——关于用多项式列一致逼近连续函数的维尔斯特拉斯定理。假设f(x)在闭区间?a,b?上是连续函数，那存在一列多项式
B?X1?,B?x2??一致收敛于函数f(x)，x??a,b?。
解：不妨设a=0,b=1，所以可以引进自变量?:x??b?a???a，使???0,1?这样假设
。现在建立一列多f?x?,x??0,1?。此外对于一切，0?x?1有， f?x??k（常数）
??n?n?m?mmn?m项式Bn?x??Ef????f??Cnx?1?x?，其中?n服从二项分布参数为
?n?n?0?n?n?1，而x??0,1?，显然有Bn?0??f?0?,Bn?1??f?1?。由伯努利大数定理知
plim?nn??????x,x??0,1?现在证明：Bn?x??Ef?nn?nmnm??一致收敛于f?x?,x??0,1?。 ?n由于
m?0?Cx1?xnn??n?m所以Bn?x??f?x????m??mmn?m??f?fx????n?Cnx?1?x? ?m?0???n?mn?m?m?mmmmx?1?x? Bn?x??f?x???f???f?x?Cnx?1?x??Cn?n?m?0
m?x??n??2n?m?m?mmf???f?x?Cnx?1?x???n?m?x??n??m?f???f?x? ?n???2km?x??n?Cmnxm?1?x?n?m
??????2kp?n?x??p? 2?n?由于任意x??0,1?,?n????p???x,可见存在N，使当n ?N时：p?n?x???? nn4k??从而当n?N,时对于一切x??0,1?有,Bn?x??f?x??即Bn?x?关于x??0,1?一致收敛于f?x?。
例3 （法捷耶夫定理）
?2?2k??4k??2??2??
设f?x?和g?x?是?上的两个正值可测函数。有，?y???g?x??y?,??y????yf?x?dx则，
??f?x??g?x?dx????y?dy.
0??证明：建立随机模型，令随机变量X的密度函数为：f1?x??Eg?X??f?x??f?x?dx?,x??，
?g?x??f?x?dx （1）
?1令Y?g?X?的分布函数为F?y?则：
EY????由（1）与（2）得：
0??0ydF?y???gx?y??0?1?F?y??dy?????f1?x?dxdy????f?x?dx1??0??y?dy （2）
??g?x?f1?x?dx????f?x?dx??1??0?（y）dy
即：
??g?x?f?x?dx??0??y?dy。
3. 积分不等式的证明
在数学分析中积分不等式的证明，往往利用重要不等式或凸函数的性质，或者利用定积分的基本性质和微分学的知识来证明。但如果积分中的被积函数恰好是概率论中某个随机变量的密度函数形式，那么这一类积分不等式，就可以采用概率方法来证明。 例4 证明??0时，有
12???a?ae?x22dx?1?e?a2。
证明：由于被积分函数是标准正态分布N?0,1?的密度函数，此时可以考虑用概率的方法来
证明。设随机变量X与Y相互独立且都服从标准正态分布N（0，1）则，
p?x,y??显然
1?1?exp??x2?y2? 2??2?????p?x,y?dxdy???p?x,y?dxdy，其中G和S分别是如图所示的正方形ABCD
GS和圆O。 而在
??G?1p?x,y?dxdy???2???a?ae?x22?dx? ??A2y
D??p?x,y?dxdy中，令x?rcos?,y?rsin?， s O则有
??p?x,y?dxdy
sxC1?2???022?a20er2?2Brdrd?
?1?e?a即：
12???a?ae?x22dx?1?a2
4. 积分极限的计算 在数学分析中，积分极限的计算通常需要定积分的性质或洛比达法则来进行，但对于有些问题用上述方法却无法解决，而借助概率方法就简便易行的多。
22列5. 假设Gn???xi,?,xn?:x1???xn???n?,0?x1,?xn?1?。求： 2?lim???dx1?dxn.
n??GN解，假设随机变量?n?n?1,2,??在[0，1]上有均匀分布，而且相互独立。有E?1? E?1?21: 21，易见， 3 ?dx1?dxn?P???1,?,?n??Gn?
??Gn
n?1???1?P??12???n2???P??12????n2??2?2???n???11?1??1?P??12????n2?E?12???P???i2?E?12??.6?6??n?ni?1??n
2由?1,?,?n,?独立分布，可见?12,?,?n,?独立同分布，根据辛钦大数定律，知
?1n21?limP???i?E?12???1从而，得 n??6??ni?1lim???dx1?dxn?1。
n??GN5. 利用概率方法求级数 例6． 求证：
??n?1?!?1
n?1?n证明：建立一随机模型，令E是只有两个基本事件：A与A的随机试验， 试验E独立重复 n次，在等k次试验中，A出现的概率为pk，不出现的概率为：qk?1?pk。令fn表示n次独立试验中，A首次出现在第n次试验的概率，则有：
f1?p1,f2?q1?p2,?,fn?q1???qn?1?pn。
????nn令pN??fn,QN??qn，则有pN?QN?1。取pn?，则?qn??=0
n?1n?1n?in?1n?1n?1NN??所以：
?fn?1n??n?1 !n?1?n?1???
1例7．试求?2n?1n??nn?1?12
解：设所有素数排列为：2?3?5?7????。在自然数序列中，有放回的取出两数? 和
?只有下列可能：
A1:?，? 互素。 A2:?,?有公因子2。
A3:?,?有公因子3。
………………
Aq:?,?有公因子9。
………………
所以 A1?A2?A3???A9????
即： A1????A2?A3???A9???=A2?A3???A9?? 其中Ai?i?1,2,3??相互独立。设?中有因子q，则?必须是q的倍数， 即有:P（? 是q的倍数）=
1. q1. q若?和?有公因子q，故?也必须是q的倍数，即有：P(?是q的倍数)=
于是 PAq?p???11，从而 。 PA?1?qq2q2??而: A1?A2?A3?Aq???A2?A3?? 故在自然数序列中有放回取出两数互素的概率为：
?????P?A??P?A????PA1?PA2?A3??23
1??1??1????1?2??1?2??1?2????2??3??5?利用欧拉变换无穷乘积为级数的方法，得：
P?A1??11?2n?1n???6?2