§8.5多元复合函数微分法
复习：一元复合函数的求导法则
设y?f[?(x)]是由y?f(u)和u??(x)复合而成，则
dydydu???f?(u)???(x)。 dxdudx8.5.1全导数
定理1 若函数u??(x)及v??(x)都在点x可导，函数z?f(u,v)在对应点(u, v) 处可微，则复合函数z?f[?(x),?(x)]在点x可导，且
dz?zdu?zdv（全导数公式）。 ① ????dx?udx?vdx证明：给x以增量?x，则u、v得相应的增量?u、 ?v， 从而z?f(u,v)有全增量?z?f(u??u, v??v)?f(u, v)， ∵z?f(u,v)在(u, v)处可微，
∴?z??z?z?u??v?o(?)，其中??(?u)2?(?v)2。 ?u?v∵u??(x)、v??(x)都在点x可导， ∴u??(x)、v??(x)都在点x必连续，
即当?x?0时，?u?0，?v?0，从而lim??0。
?x?0 ∵
?z?z?u?z?vo(?)???， ?x?u?x?v?x?x 而limo(?)o(?)?o(?)?u?v?lim??lim?lim[?()2?()2]
?x?x?x?x?0??x?0??x?0??x?0 ?0?[?( ∴ lim 即
du2dv)?()2]?0， dxdx?z?z?u?z?vo(?)?lim()?lim()?lim，
?x?0?x?x?0?u?x?x?0?v?x?x?0?xdz?zdu?zdv。 ????dx?udx?vdx 1
u x
z 全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。
v x
可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：z?f(u,v,w)，而u?u(x), v?v(x), w?w(x)，则 z?f[u(x),v(x),w(x)]，
例1．已知z?uv?arctanx，而u?ex，v?cosx，求解法1：
dz。 dxdz?zdu?zdv?zdw???。 dx?udx?vdx?wdx
dz?zdu?zdv?z1????vex?u(?sinx)? 2dx?udx?vdx?x1?x ?ex(cosx?sinx)?11?x2。
解法2： z?excosx?arctanx，
dz1?ex(cosx?sinx)?。 2dx1?x定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。
8.5.2复合函数的微分法 一、复合函数的微分法
定理2 设z?f(u,v)，而u??(x,y), v??(x,y)。若u??(x,y), v??(x,y)在点(x,y)处偏导数都存在，而z?f(u,v)在相应点(u,v)可微，则复合函数
z?f[?(x,y),?(x,y)]在点(x,y)处存在偏导数，且
?z?z?u?z?v ， ?????x?u?x?v?xx
z ?z?z?u?z?v。 ?????y?u?y?v?y2
u y
x v
y
类似地，z?f(u,v,w)，而u?u(x,y),v?v(x,y),t?t(x,y)， 则z?f[u(x,y),v(x,y),t(x,y)]， ?z?z?u?z?v?z?t??????， ?x?u?x?v?x?t?x?z?z?u?z?v?z?t??????。 ?y?u?y?v?y?t?yz u v t
x
y
x
y
x
y
在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。
例如：设z?f(u,v)，u??(x,y)和v??(x)，则z?f[?(x,y),?(x)]，
?z?z?u?zdv ， ?????x?u?x?vdx?z?z?u 。 ???y?u?yx u z
y
v x
如果z?f(u ,x,y,)，u??(x,y)，则z?f[?(x,y ) ,x,y,] ?z?f?u?f ????x?u?x?xx u z
?z?f?u?f ????y?u?y?y x
y
y
注意：这里
?z?f?z与是不同的，是把复合函数z? f[?(x,y) ,x,y,]中的y看作 ?x?x?x?f 不变而对x的偏导数，是把f(u,x,y)中的u, y看作不变而对x的偏导数。
?x
?z?f与也有类似的区别。 ?y?y例2．设z?eusinv，而u?2xy，v?x2?y，
x
z 3
u y
x v
y
求
?z?z，。 ?x?y 解：
?z?z?u?z?v ?????x?u?x?v?x ?eusinv?2y?eucosv?2x?2eu(ysinv?xcosv) ?2e2xy[ysin(x2?y)?xcos(x2?y)]；
?z?z?u?z?v ?????y?u?y?v?y ?eusinv?2x?eucosv?eu(2xsinv?cosv) ?e2xy[2xsin(x2?y)?cos(x2?y)]。
例3.设z?xy?xF(u)，而u?y?z?z，F(u)为可导函数，证明：x ?y?z?xy。x?x?y 证明：
?z?uy?y?F(u)?xF?(u)?y?F(u)?F?(u)， ?x?xx?z?u?x?xF?(u)?x?F?(u)， ?y?y?z?z?y?xy?xF(u)?yF?(u)?xy?yF?(u)?z?xy。 ?x?y
x
例4．设u?f(x,y,z)?ex?u?f?f?z ????x?x?z?x22?y2?z2，z?x2siny，求
?u?u和。 ?x?y 解：
x u 2y
?2xex ?2xex?y?z?y?z222?2zex?y?z22x
y
?2xsiny
2z 4222(1?2zsiny)?2xex?y?xsiny2(1?2x2sin2y).
4
?u?f?f?z ????y?y?z?y2 ?2yex ?2e
?y2?z2?2zex22?y2?z2?x2cosy
x2?y2?x4sin2yx2?y2?z2(y?zxcosy)?2e(y?x4sinycosy).
例5．设z?f(x?y, xy2)，f有二阶连续偏导数，
?z?2z?2z 求，，。
2?x?x?y?xx
f 解：设u?x?y，v?xy2，则z?f(u, v)
?z?u?v?fu?fv?fu?y2fv， ?x?x?xu y
x v
y
?f?f? ?(fu?y2fv)?u?y2v
?x?x?x?x2 ?fuu?u?v?u?v?fuv?y2(fvu?fvv) ?x?x?x?x2222?2zx
fu u y
x v ?fuu?yfuv?y(fvu?yfvv)?fuu?2yfuv?yfvv。
4
y
?f?f?2z? ?(fu?y2fv)?u?y2v?2yfv ?x?y?y?y?y ?fuu?u?v?u?v?fuv?y2[fvu?fvv]?2yfv ?y?y?y?yx
fv u y
x v
y
??fuu?fuv?2xy?y2[fvu(?1)?fvv?2xy]?2yfv ??fuu?(2xy?y2)fuv?2xy3fvv?2yfv。
?w?2w例6．设w?f(x?y?z, xyz)，f具有二阶连续偏导数，求及。
?x?x?zx y 解: 以1、2分别表示x?y?z、xyz
1 z x 两个中间变量，函数的复合关系图如右： f 2 y
z
5