例1.将圆O的弦AB和弧
三等分，分点分别是C、D和C'、D'（AC=CD=DB，
），
直线CC'和DD'交于点P。证明：∠APB=∠C'OD'。
例2.设D为边AC上一点，E和F分别为线段BD、BC上的点，满足∠BAE=∠FAC，再设P、Q分别为线段BC、BD上的点，使得EP//QF//DC。证明：∠BAP=∠QAC。
例3.设D是三角形ABC的边BC上一点，DC的垂直平分线交边AC于E，BD的垂直平分线交边AB于F。证明：E、A、F、O四点共圆，其中O是三角形ABC的外心。
例4.设三角形ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于D、E、F，外接圆的弧
的中点分别是L、M、N。证明：直线DL、EM、FN共点。
例5.两个圆内切,切点是A。一条直线与两个圆依次交于点M、N、P、Q（其中M、Q在大圆上，N、P在小圆上）证明：∠MAP=∠NAQ。
例6.圆O1与圆O2内切于点A。圆O1在圆O2内。过A的直线交圆O1于B，交圆O2于C。过B作圆O1的切线交圆O2于点D、E。过C作圆O1的切线，切点是F、G。证明：D、E、F、G四点共圆。
例7.三角形ABC内有三个圆，圆心分别是O1，O2，O3。它们都和圆O外切，切点分别是A1，B1，C1。且圆O1与AB和AC相切，圆O2与BC和BA相切，圆O3与CB和CA相切。证明：直线AA1，BB1，CC1三线共点。
例8.设圆O1、圆O2分别与圆O内切于A、B（圆O1、圆O2都在圆O内部），且圆O1与圆O2相交于P、Q两点，S为直线PQ与圆O的另一个交点，SA、SB分别交于圆O1与圆O2于另一点C、D。证明：直线CD是圆O1和圆O2的一条公切线。
在和圆有关的问题中，有两种特殊方法值得注意，一是根轴，二是反演变换。 1.根轴的定义和性质
22
（1）定义：平面上一点P到圆O的幂定义为OP-r,其中r为圆O的半径。对于平面上两个不同心的圆来说，平面上到它们的幂相等的点的轨迹是一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴。（对两个半径不等的同心圆来说此轨迹是空集）
（2）性质：
两个相交的圆的根轴就是它们的公共弦所在直线，两个相切的圆的根轴就是它们的公切线。 蒙日定理：平面上三个不同心的圆两两的根轴三线共点或者都平行。
例题
例1（中国高中联赛）△ABC的外心为O，AD、BE、CF是三条高线，垂心是H。直线DE和AB交于点M，DF和AC交于点N.证明：OH⊥MN。