例2 设O和I分别是△ABC的内心和外心。△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，直线FD与CA交于点P，直线DE与AB交于点Q，点M、N分别是线段PE和QF的中点。证明：OI⊥MN。
例3 分别以O1和O2为圆心的圆W1和W2外切，切点是D。它们都在圆W的内部且与W内切，切点分别是E和F。设t是W1和W2在D处的公切线，AB是圆W的垂直于t的直径，其中点A、E、O1在t的同一侧。证明：AO1、BO2、EF和t四线共点。
2.反演的定义和性质
（1）定义：设O是平面上的一个定点，k是一个非零常数。如果平面上的一个变换满足对于平面上任一异于O的点A和其像点A1总有A1、O、A三点共线且
（内积运算），则称其为平
面上的一个反演变换。其中O称为反演中心,k称为反演幂,点A1称为A的反点，A与A1称为互反点。（注意O在反演变换下没有像！）
显然一个点的反点的反点就是它自身。一个图形在反演变换下的像称为其反形。反演变换是可逆的，且其逆变换就是自身。反演变换的不动点称为自反点，不变图形称为自反图形。容易验证以
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O为圆心，r为半径的圆在反演变换下是自反图形，其中r=|k|。这个圆称为反演变换的反演圆，r称为反演半径。
（2）性质
性质1：在反演变换下不共线的两对互反点四点共圆（由定义立得）
性质2：设反演变换的反演中心是O，反演幂是k。A和B是平面上异于O的两点,其像点分别是A1和B1。则|A1B1|=|k|×|AB|/（|OA|×|OB|）（用相似关系证明）
性质3：在反演变换下，过反演中心的直线不变；不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线；不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆。（证明不难，留作思考）该性质是我们用反演变换解决问题的基础。通过反演变换我们往往可以把圆较多的问题转化成已知条件以直线为主的问题，就容易下手了。
设两个圆相交于点A，过A分别作两个圆的切线。两条切线所夹的非钝角称为这两个圆的夹角。
若两个圆的夹角为90°，则称它们正交。
性质4：两个圆的夹角在反演变换下不变。
例4 凸四边形ABCD有内切圆,该内切圆切边AB、BC、CD、DA的切点分别为A1、B1、C1、D1,连接A1B1、B1C1、C1D1、D1A1,点E、F、G、H分别为A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点。证明:四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A、B、C、D四点共圆。
例5 △ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F。证明：△ABC的外心、内心和△DEF的垂心三点共线。
例6 圆O1和圆O2都在圆O内部且与圆O相切，切点分别是S和T。圆O1和圆O2相交于两点M和N。证明：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。
例7 锐角△ABC的外心为O，外接圆半径为R，直线AO与△OBC的外接圆交于另一点A1，类似
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地定义B1和C1。证明：OA1·OB1·OC1≥8R，并求等号成立的条件。
例8 △ABC的内心为I，圆O1过B、C，圆O2过C、A，圆O3过A、B，且都与圆I正交。圆O2与圆O3相交于A和另一点A1，类似地定义B1和C1。证明：△A1B1C1的外接圆半径是圆I半径的一半。