2017年上海市长宁区、嘉定区高三一模数学试卷
一、填空题（共12小题；共60分）
1. 设集合 ??= ?? ???2 <1,??∈?? ，集合 ??=??，则 ??∩??= ______． 2. 函数 ??=sin ?????3 ??>0 的最小正周期是 π，则 ??= ______．
3. 设 i 为虚数单位，在复平面上，复数 2?i 2 对应的点到原点的距离为 ______． 4. 若函数 ?? ?? =log2 ??+1 +?? 的反函数的图象经过点 4,1 ，则实数 ??= ______．
5. 已知 ??+3?? ?? 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 ??= ______． 6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有______ 种．
7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm，圆心角为 270° 的扇形，则这个圆锥的体积为______ cm3． 8. 若数列 ???? 的所有项都是正数，且 ??1+ ??2+?+ ????=??2+3?? ??∈??? ，则 lim
??2
1??2
??→∞
??
3
π
21+
3
+?+??+1 = ______．
????
9. 如图，在 △?????? 中，∠??=45°，?? 是 ???? 边上的一点，????=5，????=7，????=3，则 ???? 的长为______．
10. 有以下命题：
①若函数 ?? ?? 既是奇函数又是偶函数，则 ?? ?? 的值域为 0 ； ②若函数 ?? ?? 是偶函数，则 ?? ?? =?? ?? ；
③若函数 ?? ?? 在其定义域内不是单调函数，则 ?? ?? 不存在反函数；
④若函数 ?? ?? 存在反函数 ???1 ?? ，且 ???1 ?? 与 ?? ?? 不完全相同，则 ?? ?? 与 ???1 ?? 图象的公共点必在直线 ??=?? 上；
其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）
1
2
= 1,?2 ，???? = ??,?1 ，???? = ???,0 ，其中 ?? 为原点坐标，??>0，??>0，若 ??，11. 设向量 ????
??，?? 三点共线，则 ??+?? 的最小值为______．
12. 如图，已知正三棱柱 ?????????1??1??1 的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，一质点自 ?? 点出发，沿着
三棱柱的侧面绕行两周到达 ??1 点的最短路线的长为______ cm．
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二、选择题（共4小题；共20分） 13. “??<2”是“??2<4”的 ??
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 若无穷等差数列 ???? 的首项 ??1<0，公差 ??>0， ???? 的前 ?? 项和为 ????，则以下结论中一定正
确的是 ?? A. ???? 单调递增 15. 给出下列命题：
（1）存在实数 ?? 使 sin??+cos??=2．
（2）直线 ??=? 是函数 ??=sin?? 图象的一条对称轴．
2π
3
B. ???? 单调递减 C. ???? 有最小值 D. ???? 有最大值
（3）??=cos cos?? ??∈?? 的值域是 cos1,1 ．
（4）若 ??，?? 都是第一象限角，且 ??>??，则 tan??>tan??． 其中正确命题的题号为 ?? A. （1）（2）
B. （2）（3）
??4
C. （3）（4）
9??
D. （1）（4）
16. 如果对一切实数 ??，??，不等式 ?cos2??≥??sin??? 恒成立，则实数 ?? 的取值范围是 ??
A. ?∞,3 C. ?2 2,2 2
4
B. 3,+∞ D. ?3,3
三、解答题（共5小题；共65分）
17. 如图，已知 ????⊥平面??????，????⊥????，???? 与平面 ?????? 所成的角为 30°，且 ????=????=2．
（1）三棱锥 ????????? 的体积；
（2）设 ?? 为 ???? 的中点，求异面直线 ???? 与 ???? 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
??+??2
18. 在 △?????? 中，??，??，?? 分别是角 ??，??，?? 的对边，且 8sin2
（1）求角 ?? 的大小；
?2cos2??=7．
（2）若 ??= 3，??+??=3，求 ?? 和 ?? 的值．
19. 某地要建造一个边长为 2（单位：km）的正方形市民休闲公园 ????????，将其中的区域 ?????? 开挖
成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 ?? 的坐标为 1,2 ，曲线 ???? 是函数 ??=????2 图象的一部分，过对边 ???? 上一点 ?? 在区域 ???????? 内作一次函数 ??=????+?? ??>0 的图象，与线
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段 ???? 交于点 ??（点 ?? 不与点 ?? 重合），且线段 ???? 与曲线 ???? 有且只有一个公共点 ??，四边形 ???????? 为绿化风景区：
??2
（1）求证：??=?8；
（2）设点 ?? 的横坐标为 ??，①用 ?? 表示 ??，?? 两点坐标；②将四边形 ???????? 的面积 ?? 表示成关
于 ?? 的函数 ??=?? ?? ，并求 ?? 的最大值．
20. 已知函数 ?? ?? =9???2???3??+3；
（1）若 ??=1，??∈ 0,1 时，求 ?? ?? 的值域； （2）当 ??∈ ?1,1 时，求 ?? ?? 的最小值 ? ?? ；
（3）是否存在实数 ??，??，同时满足下列条件：①??>??>3；② 当 ? ?? 的定义域为 ??,?? 时，
其值域为 ??2,??2 ，若存在，求出 ??，?? 值，若不存在，请说明理由．
21. 已知无穷数列 ???? 的各项都是正数，其前 ?? 项和为 ????，且满足：??1=??，??????=????????+1?1，
其中 ??≠1，常数 ??∈??．
（1）求证：????+2????? 是一个定值；
（2）数列 ???? 是一个周期数列（存在正整数 ??，使得对任意 ??∈???，都有 ????+??=???? 成立，则
称 ???? 为周期数列，?? 为它的一个周期，求该数列的最小周期；
（3）若数列 ???? 是各项均为有理数的等差数列，????=2?3???1 ??∈??? ，问：数列 ???? 中的所
有项是否都是数列 ???? 中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例．
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答案
第一部分 1. 2 2. 2 3. 5 4. 3 5. 6 6. 60 7.
3 783
π
8. 2 9.
5 62
10. ①② 11. 8 12. 13 第二部分
13. B 14. C 15. B 16. D 第三部分
17. （1） 如图，因为 ????⊥平面??????， 所以 ????⊥????， 又 ????⊥????， 所以 ????⊥平面??????，
因为 ????⊥平面??????，???? 与平面 ?????? 所成的角为 30°， 故 ∠??????=30°，
由 ????=????=2，得 ????=4，????=2 2，
所以 ????= 16?4=2 3，????= 2 3 ?22=2 2， 则
1
×??△??????×????31
=×????×????×????6 1
=×2×2 2×264 2=.
3 （2） 以 ?? 为原点，???? 为 ?? 轴，???? 为 ?? 轴，过 ?? 作平面 ?????? 的垂线为 ?? 轴，建立空间直角坐标
???????????
=
系，
2
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= 2,1,0 ， ?? 0,2,2 ，?? 2 2,0,0 ，?? 0,0,0 ，?? 0,2,0 ，?? 2,1,0 ， ????= 2 2,?2,?2 ，????设异面直线 ???? 与 ???? 所成角为 ??， 则 cos??= ????=4 ? ???? ??=arccos
3． 6
3． 6
????? ????
2 3． 6
=3所以异面直线 ???? 与 ???? 所成角的大小为 arccos
18. （1） 在 △?????? 中有 ??+??=π???，由条件可得：4 1?cos ??+?? ?4cos2??+2=7， 又因为 cos ??+?? =?cos??， 所以 4cos2???4cos??+1=0． 解得 cos??=，又 ??∈ 0,π ，
21π
所以 ??=3．
（2） 由 cos??=2 知
1
??2+??2???2
2????
=2，即 ??+?? 2???2=3????．
1
又 ??= 3，??+??=3，代入得 ????=2．
??+??=3,??=1,??=2,由 ? 或
????=2??=2??=1.
19. （1） 函数 ??=????2 过点 ?? 1,2 ，代入计算得 ??=2， 所以 ??=2??2，
??=????+??,由 消去 ?? 得 2??2????????=0， 2
??=2??由线段 ???? 与曲线 ???? 有且只有一个公共点 ??， 得 ??= ??? 2?4×2× ??? =0， 解得 ??=?8．
（2） 设点 ?? 的横坐标为 ??，则 ?? ??,2??2 ， ①直线 ???? 的方程为 ??=????+??， 即 ??=?????所以 ?????
??28??28??2
过点 ??，
=2??2，解得 ??=4??，
??
??=4?????2??2， 令 ??=0，解得 ??=2， 所以 ?? 2,0 ，
令 ??=2，解得 ??=2+2??， 所以 ?? 2+2??,2 ．
②将四边形 ???????? 的面积 ?? 表示成关于 ?? 的函数为 ??=?? ?? =2×2?2×2× 2+ 2+2?? =4? ??+2?? ，
由 ??+2??≥2? ???2??= 2，当且仅当 ??=2??，即 ??=所以 ??≤4? 2，即 ?? 的最大值是 4? 2．
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1
1
1
2 时“=”成立， 2
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1
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1
??
1
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