23. 江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷答案 2012.3.10
数学（Ⅰ）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．[?2,3) 2．20 3．6 4．16 5．
1 6．②④ 7．3 48．[?,3] 9．[?3,6] 10．-1 11．
3213152 12．2? 13． 14． 6222二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）∵OA?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以OA?BD， ∵ABCD是菱形，∴AC?BD，又OA?AC?A，∴BD?平面OAC， 又∵BD?平面OBD，∴平面BDO?平面ACO． ????????6分 1⑵取OD中点M，连接EM,CM,则ME‖AD,ME?AD，
2O∵ABCD是菱形，∴AD//BC,AD?BC， ∵F为BC的中点，∴CF‖AD,CF?1AD， 2EAMD
F
C∴ME‖CF,ME?CF．∴四边形EFCM是平行四边形，∴EF//CM，
B又∵EF?平面OCD，CM?平面OCD．∴EF‖平面OCD．?14分
16．（Ⅰ）如图?AOB???????2?,???3??2?.
22（Ⅱ）由sin??3?yB，又r?1,得yB?sin??sin(?2?) ??cos2??2sin2??1?2?(4)2?1?7. r2525
由钝角?，知xB?cos???1?sin2???24, ?B(?24,7).
252525（Ⅲ）【法一】xB?yB?cos??sin??2cos(???)， 42?,?x?y的最小值为?2. 又??(?,?),????(3?,5?)，cos(???)????1,?BB??244442??【法二】?为钝角，?xB?0,yB?0,xB?yB?1, xB?yB??(?xB?yB)，
22(?xB?yB)2?2(xB?yB)?2,?xB?yB??2,?xB?yB的最小值为?2.
17．
22
y222?1，18．（Ⅰ） x?（Ⅱ）(x?3)?(y?1)?5，（Ⅲ）(s?3)x?(t?1)y?3s?t?5?0 42
19．解：（Ⅰ）因为
f(x)?1?lnxlnx， x >0，则f?(x)??2， xx当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0.
所以f(x)在（0，1）上单调递增；在(1,??)上单调递减，所以函数f(x)在x?1处取得极大值. 因为函数f(x)在区间(a,a?)（其中a?0）上存在极值，
12?a?1,1?所以? 解得?a?1. 12a??1,??2（Ⅱ）不等式f(x)?k(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx),即为?k, 记g(x)?, x?1xxx2(x?1)(1?lnx)??x?(x?1)(1?lnx)x?lnx??所以g?(x)?
x2令h(x)?x?lnx，则h?(x)?1?1， ?x?1， ?h?(x)?0, x?h(x)在?1,??)上单调递增， ??h(x)?min?h(1)?1g?(x)?0， ?，从而0 故g(x)在?1,??)上也单调递增， 所以?g(x)?min?g(1)?2，所以k?2 . （3）由（2）知：f(x)?2,恒成立，即lnx?x?1?1?2?1?2， x?1x?1x?1x2，
n(n?1)令x?n(n?1)，则ln?n(n?1)??1?所以 ln(1?2)?1?2, 1?2ln(2?3)?1?ln(3?4)?1?2， 2?32， 3?4 ? ?
ln?n?n?1???1?2，
n?n?1?232叠加得：ln?1?2?3?????n(n?1)????n?2??111? ???????n(n?1)??1?22?3=n-2(1-则1?22?32?????n2(n?1)?en?2
20．（Ⅰ）当n?2时，有
12)＞n-2+＞n-2 . n?1n?1an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?a1?b1?b2???bn?1
(n?1)?nn2n?1????1.
222n2n??1. 又因为a1?1也满足上式，所以数列{an}的通项为an?22bb1（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n?N*有bn?6?n?5??n?1?bn，
bn?4bn?3bn?2所以 cn?1?cn?a6n?5?a6n?1?b6n?1?b6n?b6n?1?b6n?2?b6n?3?b6n?4
11?1?2?2?1???7(n?1)，
22所以数列{cn}为等差数列. ??????7分
（ⅱ）设cn?a6n?i(n?0)，（其中i为常数且i?{1,2,3,4,5,6}），所以
cn?1?cn?a6n?6?i?a6n?i?b6n?i?b6n?i?1?b6n?i?2?b6n?i?3?b6n?i?4?b6n?i?5?7(n?0) 所以数列{a6n?i}均为以7为公差的等差数列. ??????9分
77i7i(i?6k)?ai?ai?aa?7k66?7?6， 设fk?6k?i?i?6k?ii?6ki?6k6i?6k（其中n?6k?i(k?0)，i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数），
a7i7当ai?时，对任意的n?6k?i有n?； ??????10分
66n7i当ai?时，
67i7iai?ai?116?6?(a?7i)(fk?1?fk??) i6(k?1)?i6k?i66(k?1)?i6k?i7i?6?(ai?)()
6[6(k?1)?i](6k?i)a7i①若ai?，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列{6k?i}为单调减数列；
66k?ia7i②若ai?，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列{6k?i}为单调增数列；
66k?i74111174111综上：设集合B?{}?{}?{}?{?}?{?}?{}?{,,,?,?}，
63236263236an{}中必有某数重复出现无数次. a?B当1时，数列n当a1?B时，{a6k?i} (i?1,2,3,4,5,6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以6k?i数列{
an}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. n?b??4?3?121．B．?,M??a?1??4
?1? ?1??
C．（Ⅰ）60?
（Ⅱ）l的直角坐标方程为y?3x?2， 22222)?(y?)?1， 22??2cos(???4)的直角坐标方程为(x?所以圆心(
62210，?|AB|? ,)到直线l的距离d?4222122．解（Ⅰ）P?(C2?2111122111?)(C2??)?(?)(?)?；??????4分 332233223（Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率
2228421211P?(C2??)[C2?P2?(1?P2)]?(?)P2?P2?P2
333399而?～B(12,P)，所以E??12P 由E??5知(P2?89423P2)?12?5解得：?P2?1 ?????10分 94
23． （Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f(n)是整数. ①当n=1时，f(1)?1,结论成立.
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即f(k)?k5?k4?k3?1512131k是整数，则当n=k+1时，301111f(k?1)?(k?1)5?(k?1)4?(k?1)3?(k?1)
523301432504132214C50k5?C5k?C52k3?C5k?C54k?C5C4k?C4k?C4k?C4k?C4??
52123C30k3?C3k?C32k?C31??(k?1)=f(k)?k4?4k3?6k2?4k?1
330根据假设f(k)是整数，而k4?4k3?6k2?4k?1显然是整数.
∴f(k?1)是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.
由①、②可知对对一切正整数n，f(n)是整数. ?????????????????7分 （Ⅱ）当n=0时，f(0)?0是整数.???????????????????????8分 (Ⅲ)当n为负整数时，令n= -m，则m是正整数，由（1）f(m)是整数， 所以f(n)?f(?m)?(?m)5?(?m)4?(?m)3?1512131(?m) 301111??m5?m4?m3?m=?f(m)?m4是整数.
52330综上，对一切整数n，f(n)一定是整数.????????????????????10分