…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效…………………… 电子科技大学研究生试卷
（考试时间： 至 ，共_3_小时）
课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时 学分 教学方式 考核日期_2009__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写）
学 号 姓 名 学 院 一、(10分)化方程为标准形
x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xux?yuy?0
解：??a12?a11a22?x2y2?x2y2?0，方程属于抛物型………1分
2dyydy?dy?特征方程为：x???2xy?y2?0，得?…..1分
dxxdx?dx?22y????令?x…….1分 ????y??y??x?y??2Q?????x??x?y??0?1?x?………..1分 ?1???a11??a12a12??a11?Q??a22??a12a12?T?0?Q??a22??00?……….2分 2?y?b1?L??C??0……. 1分 b2?L??C?? y……. 1分 C?f?0………1分
1u????u?………1分
?
1
二、（15分）求定解问题
??ut?4uxx,0?x?1,t?0
?u(0,t)?u(1,t)?N?0 ?u(x,0)?0解：令V(x,t)?u(x,t)?N0 得：
??Vt?4Vxx,0?x?1,t?0?V(0,t)?V(1,t)?0? ?V(x,0)??N0分离变量得：T?(t)?4?T(t)?0和国有值问题为：
??X(x)??X(x)?0?X(0)?X(1)?0 得固有值问题解为：?n??n2?2,Xn(x)?Cnsinn?x,n?1,2,... 求得T2n(t)为：T?2tn(t)?b?4nne
??所以得一般解为V(x,t)??a?4n2?2tnesinn?x
n?1??代入初始条件得：
?ansinn?x??N0
n?1?由傅立叶展开公式得：a2N0n?n??1]????4N0(2k?1)?,n?2k?1n?[cos,k?0,1,2,...??0,n?2k
??所以，V(x,t)???4N0k?0?(2k?1)e?4(2k?1)2?2tsin(2k?1)?x ??N4N0e?4(2k?1)2?2tu(x,t)?0???sin(2k?1)?x k?0(2k?1)
2
三、(15分) 用行波法(通解法)求定解问题
?2?utt?auxx(?at?x?at,t?0)?(1) ?ux?at???(x)?(2) ?0?utx?at?0??(x),(?(0)??(0)?0)?(3)解：方程通解为： u(x,t)?f1(x?at)?f2(x?at)由(2)得： f1(0)?f2(2x)??(x)?(4)又由(3)得： f1(2x)?f2(0)??(x)?(5)由(4)与(5)得： ??fx?1(x)??()?f2(0) ?2??f2(x)??(x)?f1(0)所以：
u(x,t)??(x??atx22)??(?at2)?f1(0)?f2(0)又由(4)得： f1(0)?f2(0)??(0)所以： u(x,t)??(x?at2)??(x?at2)??(0)四、(20分)若定义f(x)的Fourier变换为
F?f(x)?????x??f(x)e?i?dx
1. 求F??(x)???
2. 求?(x)的Fourier积分表达式。 3. 证明：
F?sinax??i???(??a)??(??a)?；
F?cosax??i???(??a)??(??a)?。 解：1、F??(x)????????(x)e?i?xdx?1
2、?(x)?12????F??(x)?ei?xd??1??2??????ei?xd?
3、因为：
3
F[cosax]?iF[sinax]?F[eiax]????eiaxe?i?x??dx????
??ei(a??)xdx?2??(a??)?2??(??a)类似得：
F[cosax]?iF[sinax]?F[eiax]?2??(??a)
所以：F[cosax]????(??a)??(??a)?
F[sinax]?i???(??a)??(??a)?
五、（20分）求上半平面上拉普拉斯方程狄氏解，边界条件为：
u(x,0)???0,x?0?u0,x?0解：?G?n???Gy0?y??1?(x?x?y2
0)20拉氏方程狄氏解为： u(M10)????????(x)y0(x?x22dx0)?y0 ?1??uy0??00(x?x2dx0)2?y0=u02?arctanx0y 0六、(20分) 计算
1. 2. ?J13(x)dx??1Pn(x)dx解：1、 ?J3(x)dx=-J2(x)?2j1(x)x?C。
2、（1）当n=0时 ?1?1Pn(x)dx
(2) 当n=1,2,….时
?1?1Pn(x)dx??1?1P0(x)Pn(x)dx?0
4