?课前热身 1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．ADBC? DFCEA C E 1题 B D F B．BCDF? CEADC．CDBC? EFBED．CDAD? EFAF[来源:学科网] D B A 2.如图所示，给出下列条件： ①?B??ACD； ②?ADC??ACB； ACAB2?③； ④AC?AD?AB． CDBC其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 C （第2题图） D．4 3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [来源:学,科,网Z,X,X,K] 【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D 1 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
?考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． [来源:学.科.网] ?备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。 ?考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=________，CD=_______，BC=__ ____． 222ADBEC EABDCCA DB 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 2 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 四、如何寻找和发现相似三角形 两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决。 ?典例精析 例1（ 2013年浦东二模）（本题满分10分，每小题各5分） 已知：如图，在△ABC中，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在边AC上的点D处，点F在线段AE的延长线上，如果?FCA??B?2?ACB，AB?5，AC?9．求： BE的值； CF（2）CE的值． （1） 解：（1）∵△ABE≌△ADE，∴∠BAE=∠CAF． ∵∠B=∠FCA，∴△ABE∽△ACF．?????????????（2分） ADBEFCBEAB．??????????????????????（1分） ?CFACBE5∵AB=5，AC=9，∴?．????????????????（2分） CF9∴（2）∵△ABE∽△ACF，∴∠AEB=∠F． ∵∠AEB=∠CEF，∴∠CEF =∠F．∴CE=CF．????????（1分） ∵△ABE≌△ADE，∴∠B=∠ADE，BE=DE． ∵∠ADE=∠ACE+∠DEC，∠B=2∠ACE，∴∠ACE=∠DEC． ∴CD=DE=BE=4．?????????????????????（2分） ∵ ∴CE?第21题BE5CD5?，∴?． CF9CE936．???????????????????????（2分） 53 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
例2（2013年浦东二模）23.（本题满分12分，每小题各6分） 已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，联结AM、CN． （1）求证：AM∥CN； MD（2）过点B作BH⊥AM，垂足为H，联结CH．求证：△BCH 是等腰三H角形． 点拨：注意寻找图像中提供给我们的“A”型图，以及“X”型图. 解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD 且AB=CD．????（2分） ∵点M、N分别是边CD、AB的中点， ∴CM?AN第23题图 CB11 CD，AN?AB．???????????????（1分）22 ∴CM?AN．??????????????????????（1分） 又∵AB∥CD，∴四边形ANCM是平行四边形．????????（1分） ∴AM∥CN．???????????????????????（1分） （2）将CN与BH的交点记为E． ∵BH⊥AM，∴∠AHB=90 o． ∵AM∥CN，∴∠NEB=∠AHB=90 o．即CE⊥HB．??????（2分） ∵AM∥CN，∴BNEB．???????????????（2分） ?ANEH∵点N是AB边的中点，∴AN=BN．∴EB=EH．???????（1分） ∴CE是BH的中垂线．∴CH=CB．????????????（1分） 即△BCH是等腰三角形． 例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ） A．①③ B．③ C．① D．①② 【答案】 B 【解析】 ∵AB∥DC，∴△AEF?∽△CDF，?但本题还有一对相似三角形是△ABC?≌△CDA（全等是相似的特例）． ∴①是错的． ∵AEEF1??，∴②EF：ED=1：2是错的． CDDF24 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2． ∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确． 点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比） ②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形． 拓展变式 点E是[来源:学科网] ?ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】 C 例四：（2013宝山嘉定二模）21.本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 2如图4，在RtΔABC中，?ACB?90?，点D在AC边上，且BC?CD?CA. （1）求证：?A??CBD； （2）当?A??，BC?2时，求AD的长（用含?的锐角三角比表示）. 点拨：通过公共角找隐含的相似形。 B A 图4 D C 变式训练：1.（2013静安二模）21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot?ADB? 求：（1）∠DBC的余弦值； （2）DE的长． 解：(1) ∵Rt△ABD中，cot?ADB?∴B A E C （第21题图） D 4． 3AD，?????????????????（1分） AB4AD?,AD?16. ????????????????????????（1分） 3125 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌