∴BD=AB2?AD2?122?162?20．????????????????（1分） ∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，????????????????????（1分） AD164??.???????????????（1分） BD205BD（2）在Rt△BCD中，cos?DBC?，??????????????????（1分） BC420∴?,BC?25．????????????????????????（1分） 5BCDEAD16∵AD//BC，∴．???????????????????（1分） ??BEBC25DE16∴?,????????????????????????????（1分） BD411616320∴DE=BD??20?.????????????????????（1分） 414141∴cos?DBC?cos?ADB? 2.（2013年静安二模）23．（本题满分12分，每小题满分6分） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上， DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC． 求证：（1）AF=CE； （2）BF2?EF?AF． F B （第23题图） C A E D 证明：（1）∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，??????????????????（2分） ∵∠AFD=∠BEC，∴180o–∠AFD =180o–∠BEC，即∠BFA=∠AEC．??（2分） ∵BA=AC，∴△BFA≌△AEC．????????????????????（1分） ∴AF=CE．?????????????????????????????（1分） （2）∵△BFA≌△AEC，∴BF = AE．????????????????????（1分） ∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．??????????（2分） ∴EAEF．???????????????????????????（1分） ?ECEA∴EA2?EF?CE．?????????????????????????（1分） ∵EA=BF，CE=AF，∴BF2?EF?AF．????????????????（1分） 例五：（2013年闵行二模）17．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于 ▲ ． 6 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
答案：4. 点拨：通过列方程解决求边的长度问题，将相似比结合考察。 F B C E 变式训练：（2013年徐汇区二模） （第17题图） 22．（本题满分10分，每小题5分） 如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD?AB，AB?3，BD?4，CD?2. 求：（1）tan?CAB的值； D C （2）△AOD的面积. 22．解：（1）∵AB∥CD， O BOAB3??． 2分 ∴A D DOCD2∵BD?4， A B （图6） 312∴BO??4?． 1分 55在Rt?ABO中，?ABO?90?， BO4?． 2分 ∴tan?CAB?AB5128? 2分 （2）∵DO?BD?BO?4?5511812∴S?AOD?AB?DO??3??． 3分 2255 例六：（2013年普陀二模）23．（12’）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长等于8， OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交 C 于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相 交于点F，cosC=3， 5A F O D B E 求：（1）CD的长（5分）；（2）EF的长（7分）. 解：（1）联接AO. ……………………………………………………1′ ∵OD⊥AB， ∴AD?BD?1AB?4, …………………………………2′ 2第23题 ∵AO=5， ∴OD=3. ……………………………………………………1′ ∴CD=8. ……………………………………………………1′ (2)过点O作OH⊥HC于点E， ……………………………………………1′ ∴CF?2CH.………………………………………………………………1′ 在Rt△OCH中， ∵cosC=3， 5OC=5， 7 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
∴CH=3. ………………………………………………………2′ 在Rt△CDE中， ∵cosC=3CD?，CD=8， 5CE401?13.………………………………………………………2′ ∴CE=3311∴EF=CE–CF=13?6?7.…………………………………………………1′ 33变式训练： 1.（2013年静安区二模）24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD=45，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y． （1）求⊙O的半径； （2） 如图，当点E在AD上时，求y与x之间的函 数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果EF=E F D 3，求DF的长． 224．解：（1）联结OD，设⊙O的半径OA=OD=r． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DH=A O H B 11DC??45?25．???（1分） 22C ∵OD2?OH2?DH2,OH2?(AH?OA)2?(5?r)2, 222（第24题图） ∴ r?(5?r)?(25)．????????????????????（1分） 9．?????????????????????（1分） 21x（2）作OG⊥AE，垂足为G，∴AG=AE?． 22AGAH∵cosA?，????????????????????????（1分） ?AOAFx945∴AG?AF?AO?AH，∴?AF??5，∴AF=．??????????（1分） 22x∴⊙O的半径OA=r?∴FH?AF2?AH2?(4525)?52?81?x2． xx∵DF?FH?DH，∴y关于x的函数解析式为y?581?x2?25．??（1分） x 定义域为0?x?35．???????????????????????（1分） （3）当点E在AD上时，∵AF–AE=EF，∴453?x?， x28 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
2x2?3x?90?0，x1??∴DF?y?15(舍去),x2?6．?????????????（1分） 2581?62?25?5．?????????????????（1分） 6453当点E在DB上时，∵AE–AF=EF，∴x??， x2152x2?3x?90?0，x1?,x2??6(舍去)．?????????????（1分） 2∴FH?521581?x2?5??81?()2?11． x152∴ DF?DH?FH?25?11．??????????????????（1分） 当点E在BC上时，同上FH?11，∴ DF?DH?FH?25?11．???（1分） 2.（2013年浦东新区二模）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） ?已知：如图，在Rt△ABC中，?C?90，BC?4，tan?CAB?1，点O在边AC上，以点O为圆心的圆2过A、B两点，点P为?AB上一动点. （1）求⊙O的半径； （2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP?x，BD?y，求y关于x的函数解析式，并写 出定义域； （3）联结BP，当点P是?AB的中点时，求△ABP的面积与△ABD的面积比S△ABP的值． S△ABD AAAPOOPOCB第25题图 DCB备用图 CBD 9 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
25．解：（1）联结OB． 在Rt△ABC中，?C?90?， BC?4，tan?CAB?1， 2∴AC=8．????????????（1分） 设OB?x，则OC?8-x． 在Rt△OBC中，?C?90?， ∴x2??8?x??42．???????????????????????（2分） 解得x?5，即⊙O的半径为5．??????????????????（1分） 2 （2）过点O作OH⊥AD于点H． ∵OH过圆心，且OH⊥AD． AHPO11 AP?x．?????????（1分）22在Rt△AOH中，可得OH?AO2?AH2 ∴AH?22x100?x?．????（1分） 42DCB在△AOH和△ACD中， ?C??OHA，?HAO??CAD，∴△AOH∽△ADC．????????（1分） 即OH?25?100-x2xOHAH2?2． ∴．即?4?y8CDAC8100?x2?4．?????????????????????（1分） 得y?x定义域为0?x?45．??????????????????????（1分） （3）∵P是AB的中点，∴AP=BP．∵AO=BO，∴PO垂直平分AB． 设?CAB??，可求得?ABO??，?COB?2?，?OBC?90??2?， ?AOP?90???，?ABD?90???，?APB?2?APO?90???． ∴?ABD??APB． ∴△ABP∽△ABD．??????????（1分） S?AP?∴?ABP?? ?．?????????（1分）S?ABD?AB? ?ABP??D． 由AP=BP可得?ABP??PAB． ∴?PAB??D． ∴BD?AB?45，即y?45．????（1分） 8100?x2?4可得x2?50?105，即AP2?50?105．???（1分） 由y?x2S?ABP?AP?50?1055?5???．??????????????（1分） ??S?ABD?AB?808?迎考精练 1.（2013年杨浦区二模） 6．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ） 210 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌