《整式的运算》习题
1、学习“乘法公式”六注意
初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握，运用时容易混淆，因此要学习好乘法公式，必须注意以下几点：
一、注意乘法公式的推导
乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的，即 平方差公式：
（a + b）（a - b）= a 2 - ab + ab - b2 = a 2 - b2 ； 完全平方公式：
（a + b）2 =（a + b）（a + b）= a 2 + ab + ab + b2 =a 2 +2ab + b2； （a - b）2 =（a - b）（a - b）= a 2 - ab - ab + b2 = a 2 - 2ab + b2 ．
由此可见，理解乘法公式要与多项式乘法联系起来，这样对公式才理解的深、记得准、记得牢，一旦把公式忘记了，自己也可以把公式推导出来 ．
二、注意掌握乘法公式的结构特征
乘法公式的结构特征是各公式的本质所在．在学习时，应仔细观察其结构特征，并会用语言加以表述．
平方差公式：（a + b）（a - b）= a 2 - b2 ；
结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差 ． 完全平方公式：（a ± b）2 = a 2 ± 2ab + b2 ．
结构特征：公式的左边是两数和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍
三、注意弄清乘法公式中的字母含义
公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．例如：
（2m + 5n) (2m - 5n）=（2m）2 -（5n）2 = 4m 2 - 25n2 ． （4x + 3y）2 = (4x) 2 + 2·4x·3y + (3y)2 = 16x 2 + 24xy + 9y 2 ． 四、注意运用公式容易出现的错误 在学习中不少同学经常出现如下错误： （1）（a + b）（a + b）= a 2 + b2 ；
（2）（a + b）2 = a 2 + b2 ；（a - b）2 = a 2 - b2 ．
错误（1）的原因是模仿平方差公式所至，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方 (ab)2 = a2 b2 相混淆．对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到
验证．
五、注意掌握公式的形式变形 平方差公式的常见变形：
（1）位置变化：（a + b）（- b + a）= ； （2）符号变化：（- a - b）（a - b）= ； （3）系数变化：（3a + 2b）（3a - 2b）= ； （4）指数变化：（a 3 + b2）（a 3 - b2）= ； （5）项数变化：（a + 2b - c）(a - 2b +c)= ； （6）连用变化：（a + b）(a - b) (a 2 + b2 )= ． 只要掌握了平方差公式的结构特征，这些变形即可得解 . 完全平方公式的常见变形：
（1）a 2 + b2 =（a + b）2 - 2ab =（a - b）2 + 2ab； （2） （a + b）2 +（a - b）2 = 2（a 2 + b2）； （3）（a + b）2 -（a - b）2 = 4ab ．
这些变形应用十分广泛，因而要熟记这些变形公式． 六、注意公式的灵活运用 1、连续运用乘法公式
例 1 计算(x + 3) (x - 3) (x 2+ 9) . 解：原式 = ( x 2 - 9) (x2 + 9) = x 4 - 81． 例 2 计算 (m + n) (m - n) (m2 - n2 ).
解：原式 = (m2 - n2 ) (m2 - n2 ) = (m2 - n2 ) 2 = m4 - 2m2 n2 + n4 ．
说明：例 1是两次运用平方差公式；例 2是先运用平方差公式，再运用完全平方公式． 2、灵活选用乘法公式
例 3 计算 [ (x + 3y) (x - 3y) ]2 .
分析：本题若先根据积的乘方性质，再用完全平方公式计算比较复杂，而先用平方差公式，再运用完全平方公式，简捷明快，富有较强的灵活性．
解：原式 = ( x 2 - 9y 2 ) 2 = x 4 - 18 x 2y 2 + 81y 4 . 3、逆用乘法公式
例 4 计算 (ab + 1) 2 - (ab - 1) 2
分析：本题的常规解法是先用完全平方公式将(ab + 1) 2和(ab - 1) 2展开，再合并同类项 . 若能想到平方差公式逆用, 其解法非常简便.
解：原式 = [(ab + 1)+ (ab - 1) ] ·[(ab + 1)- (ab - 1)] = 4ab . 4、变形运用乘法公式
例 4 已知x + y = 4，且x - y = 10，则2 xy = .
分析：本题的常规解法是解二元一方程组，而运用完全平方公式的变形公式求解，会更巧妙、灵活. 解：∵ 4xy =（x + y）2 -（x - y）2 = 16 - 100 = - 84， ∴2xy = - 42 .
2、整式的乘法解题思维探究
▲基础思维探究
题型一：利用运算法则比较数的大小
典例1 先化简，再求值：?xy(x2y5?xy3?y)，其中xy2??6
【研析】先根据单项式与多项式相乘的法则计算后再进行变式，然后再整体代入求值. 解：?xy(x2y5?xy3?y)=??x3y6?x2y4?xy2?-(xy2)3?(xy2)2?xy2 当xy2??6时，原式=-(?6)3?(?6)2?(?6)?246
【梳理·总结】单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化成单项式乘以单项式，而单项式乘以单项式实质就是幂的运算，因此幂的运算性质是基础，学习时应注重幂的运算法则，弄清各种运算的区别与联系，多练习，及时检验化简、计算的正误. 题型二：用代数式表示图形的面积
典例2 一个长方体的宽是xcm，长为（3x-2）cm，高为（x-2）cm，求此长方体的表面积. 【研析】长方体的表面积是6个长方形的面积的和，根据已知条件就可以求出这个长方体的表面积. 解：此长方体的表面积为:
2x(3x?2)?2(3x?2)(x?2)?2x(x?2)=6x?4x?6x?12x?4x?8+2x?4x =14x?24x?8(cm)
【迁移应用】本例是熟悉长方体的表面积公式后，用代数式表示其面积.也可根据图形的关系，用代数式表示它们的面积.
如图，用代数式表示图形的面积，方法较多，下面给出两种方法供参考： 方法1：转化为两个矩形 面积为：（a-b）b+ab 方法2：补形 面积为：a-(a-b).
你还有别的方法吗？请自行探究，并与同伴交流. 题型三：化简求值 典例3 先化简，再求值：
y(x?y)?(x?y)(x?y)?x，其中x=-2,y=0.5
【研析】先按照整式的乘法法则计算、合并同类项后，将x、y的值代入计算出结果.
22
2
22222 解：y(x?y)?(x?y)(x?y)?x2=xy?y2?x2?xy?xy?y2?x2=xy 当x=-2,y=0.5时, y(x?y)?(x?y)(x?y)?x2=xy=-2×0.5=-1
【技巧点拨】“化简求值”这种类型的题要求非常明确，应先根据运算法则，去括号、合并同类项以后，才将字母的值代入计算，直接代入计算的计算量太大.
▲综合思维探究
题型一：学科内综合题
典例4 解方程 (x?2)(x?3)?6?(x?5)(x?1) 【研析】 去括号， 得 x?x?6?6?x?4x?5 移项、合并，得 5x??5， 系数化为1， 得 x??1.
【方法点拔】 解答此类方程时要将多项式乘以多项式展开，将方程两边化简、整理，所得的方程如可转化为已经学过的一元一次方程，则直接求解，如不能则要用一元二次方程的解法来解. 题型二：学科间渗透题
典例5 经过天文学家的测算，太阳系以外离地球最近的一颗恒星-----天门二发出的光到达地球的时间为1.36?10s，光的速度是3?10km/s,求天门二到地球的距离.
【研析】（3?10）×（1.36?10）=（3×1.36）×（10×10）=4.08?10（km） 答：天门二到地球的距离是4.08?10km.
【品思感悟】 整式的乘法在科技中有着广泛的应用.一般来说,计算得到的结果要用科学记数法表示. 本例中可根据“路程=速度×时间”，时间单位又相同，所以可以代入“路程=速度×时间”求解. 题型三： 阅读理解题
典例6 观察下列各式：(x?1)(x?1)?x?1, (x?1)(x?x?1)?x?1， (x?1)(x?x?x?1)?x?1, ??
根据前面各式的规律可得： (x?1)(x?xnn?1324232135858138522?xn?2???x?1)?____________（其中n为正整数）.
【研析】本题是属于阅读理解，探索研究性题目，认真分析特殊式子的特点，从中找出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为(x?1)(x?xnn?1?xn?2???x?1)?xn?1?1.
【梳理总结】 一般来说，解答阅读理解这类题时，先要认真仔细阅读题目中的语言文字或式子的信息，找出其内在联系或式子的特点，写出答案或一般规律. 题型四：易错辨析题
典例7 计算 （1）?3x(2x2?3x?1) （2）2a2?(a?3)(a?2) 错解：（1）?3x(2x2?3x?1)=?6x?9x
（2）2a2?(a?3)(a?2)=2a?a?2a?3a?6?a?a?6
【研析】 （1）单项式乘以多项式时，有时容易发生漏项、掉符号等问题，解答时注意看清多项式的各项和符号.
（2）多项式乘以多项式，当因式前面是“-”号时，也容易发生符号错误，计算时不妨先按照多项式乘以多项式的法则展开，然后再去括号.
解：（1）?3x(2x2?3x?1)=?6x?9x?3x （2） 2a2?(a?3)(a?2)=2a2?(a2?2a?3a?6) =2a?a?2a?3a?6?a?a?6
【误区警示】 做整式乘法运算时，常常容易出现漏项、掉符号等错误，因此计算时，特别注意要认真耐心地审题，看清项数和每一项的符号.
▲创新思维探究
题型一：拓展多变题
典例8 计算：(a?2)(a?2) 一变： (a?2b)(a?2b) 二变： (a?b?2)(a?b?2) 三变： (a?2)(a?2) 四变： (2a?1)(3a?1)
【研析】按照多项式与多项式相乘的法则进行计算即可. 对于(a?b?c)(a?b?c)型的多项式相乘，也可以将两个多项式中相同的项作为一个整体来求解. 解:(a?2)(a?2)=a?2a?2a?4?a?4； 一变：(a?2b)(a?2b)=a?2ab?2ab?4b；
二变：(a?b?2)(a?b?2)=(a?b)?2(a?b)?2(a?b)?4?a?2ab?b?4；
22 三变：(a?2)(a?2)=a?2a?2a?4?a?4；
2242242222222322223222222 四变：(2a?1)(3a?1)=6a?2a?3a?1?6a?a?1.
【方法探究】类比思想和整体思想都是重要的数学思想方法.有许多问题,我们常常用这些数学思想方法来解决.从本例中可看出对一种类型题的掌握要从方法上去领悟，学数学重在学方法. 题型二：奇思妙解题
典例9 若(x2?nx?3)(x2?3x?m)的展开式中不含x和x项，求m和n的值.
【研析】由题意可知，不含x和x项就是x3的系数x2的系数为没有必要将两个多项式全部相乘，0，两个二次三项式相乘，x项只能是x项与常数项的积和两式中的一次项的积，而x项只能是x项与x项的积，这里，只要把有关的项找到，然后合并同类项，就可以列出方程或方程组. 解:含x的项是：x?m?3nx?3x=(m?3n?3)x2 含x的项是：-3x?nx=(?3?n)x3
333222222323232?m?3n?3?0?m?6???3?n?0n?3
根据题意，得? 解得? 【技巧点拨】有些数学题目按一般的思路和方法是解得出来的，但可能运算较繁杂.如果细心的观察和思考，那么有可能发现一些独特的解题思路，使问题变得较简便.
▲中考思维探究
典例10、（2007年陕西省）计算 (a?3)(a?2)?a(a?2a?2)
22 【研析】 (a?3)(a?2)?a(a?2a?2)=a?2a?3a?6?a?2a?2a
323222 =5a?6.
【中考导向】 本题是考查整式乘法的综合运算能力.利用多项式乘以多项式、单项式乘以单项式的法则进行运算，中考中对此知识点的考查形式常以综合运算或是代入求值为主. 典例12 （2007年江苏省）填空：
设(1＋x)(1－x)＝a＋bx＋cx＋dx，则a＋b＋c＋d＝ .
【研析】本题由于作了多项式乘法得到一个多项式，所以只要取x=1时，就可以求出 a ＋ b ＋c ＋ d的值.
解：当x=1时, a ＋ b ＋c ＋ d ＝0
【归纳总结】整式乘法是中考的必考内容.解答时注意以下几点①不可漏项,②审对符号,③掌握一些特殊类型的规律进行简便运算.
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