江苏省南京师大附中2012届高三下学期二轮复习周
统测（五）数学试题
（2012.3.28）
（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上. ．．
1．设复数z?1?bi(b?R)且|z|?1，则复数z的虚部为 ▲ ． 2．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区， 时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过 60km/h的汽车数量为 ▲ 辆． 3．设函数f(x)?x3cosx?1，若f(a)?11， 则f(?a)? ▲ ．
频率 组距0.0390.0280.0180.0100.005????4．已知向量a=(x?1,2),b=(4,y),若a?b，
则9?3的最小值为 ▲ ．
xyO304050607080时速(km/h)5．点P(2,?1)为圆(x?3)?y?25的弦的中点，则该弦所在直线 的方程是 ▲ ． 6．已知sin(??22DEC?4)?1，则sin?cos?的值为 ▲ ． 3AB7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部 随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ▲ ．
8．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
P23?3?5,33?7?9?11,43?13?15?17?19,?,仿此，
若m3的“分裂数”中有一个是31，则m的值为 ▲ ．
9．如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD?底面ABCD， PD=AD=1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC 的距离为d2，则比较d1,d2的大小有 ▲ ．
10．执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小 值是 ▲ ．
11．已知函数f(x)满足f(1?x)?f(1?x)?2，且直线
ADCB开始 输入p n?1，S?0 S?p? 是 否 y?k(x?1)?1与f(x)的图象有5个交点，则这些交点的纵坐标
之和为 ▲ ．
S?S?2n?1 输出n 结束 n?n?1 12．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题中真命题的编号是 ▲ ． ① 数列{an}的各项均为正数；② 数列{an}中必有小于2的项；
③ 数列{an}的公比必是正数；④ 数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1． 13．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（说明：“正方形PABC 沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的 是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中 心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动． 向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y?f(x)，
则y?f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S是 ▲ ．
????????????????????????????????14．已知平面向量OA,OB,OC满足：|OA|?|OB|?|OC|?1,OA?OB?0，若
OA?xOC?yOB(x,y?R)，则x?y的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题共l4分)
7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．
44(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；
44?(2) 已知cos(???)?，cos(???)??，0?????．求f(?)的值．
552
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC?6，
BD?63，E是PB上任意一点． (1) 求证：AC?DE；
(2) 当?AEC面积的最小值是9时，证明EC?平面PAB．
PEDCAB17. (本小题满分14分)
如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30?，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60?的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． M
O
N
S
BA
18.(本小题满分16分)
x2y2设A、B分别为椭圆2?2?1(a,b?0)的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且x?4ab是它的右准线，
(1) 求椭圆方程；
(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．
yMAONBPx19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)?ex?kx(x?R).
(1) 若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；
(2) 若k?0且对任意x?R，f(|x|)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； (3) 设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)?F(2)?F(n)?(e
20.(本小题满分16分)
已知等比数列{an}的首项a1?2012，公比q??记为?(n)．
(1) 求数列?Sn?的最大项和最小项；
(2) 判断?(n)与?(n?1)的大小， 并求n为何值时，?(n)取得最大值；
(3) 证明{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1,d2,d3,?dn，证明:数列{dn}为等比数列．（参考数据2?1024）
10n?1?2)(n?N?)．
n21，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积2答案
１．0； ２．38； ３．-9； ４．6； ５．x?y?1?0； ６．?７．
7； 181； ８．6； ９．d2?d1； １０．8； １１．5； 2１２．③； １３．S???1； １４．(??,0)?(0,??) 15.(1) 解析：f(x)?sinxcos7?7?3?3? ?cosxsin?cosxcos?sinxsin4444?2sinx?2cosx?2sin(x?)， …………………………4分
4?∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． ………………7分 (2) 证明：由已知得cos?cos??sin?sin??44，cos?cos??sin?sin??? 55两式相加得2cos?cos??0，∵0??????2，∴cos??0，则???2．……… 12分
∴f(?)?2sin(?)?2． ……………………………… 14分
2416.解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC?BD。 又因为PD?平面ABCD，AC?平面PDB
??E为PB上任意一点，DE?平面PBD，所以AC?DE------------------------- ------ 7分 （2）连ED．由（I），知AC?平面PDB，EF?平面PBD，所以AC?EF．
1S?ACE?AC?EF,在?ACE面积最小时，EF最小，则EF?PB．
21S?ACE?9,?6?EF?9，解得EF?3----------------------------------------- ------ ------ - 10分
2由PB?EF且PB?AC得PB?平面AEC,则PB?EC，
又由 EF?AF?FC?3得EC?AE，而PB?AE?E，故EC?平面PAB------ 14分
17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,?CSB?30,?ASB?60, 又SA?3,故在Rt?SAB中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分 由SC=3，?CSO?30,在Rt?SCO中,可求得OC?3,
又BC?SA?3,故OB?23,即立柱高为23米. -------------------------- ------ ------ - 6分
?(2) （注：若直接写当MN?SO时，?MSN最大，并且此时?MSN?60，得2分）
???连结SM,SN, 在△SON和△SOM中分别用余弦定理,
(23)2?12?b22?23?1??(23)2?12?a22?23?1 ?a?b?26
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