(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( ) A.17 B.15 C.
1715 D. 44
b21＋2＝17. a
bc
解析：由题意知，＝4，则双曲线的离心率e＝＝aa答案：A
2．(2010·深圳一模)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上
B．在y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
C．在x轴或y轴上 解析：∵m>n>0，
∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上． 答案：A
y2
3．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，
24
2
则△PF1F2的面积等于( )
A．42 B．83 C．24 D．48
解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|1
＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以三角形PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8
2＝24.
答案：C
x2y2
4．(2010·日照一模)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物
ab线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为( )
x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 5675xyxy
C.－＝1 D.－＝1 3643
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由题意，得：
2
2
2
2
- 1 -
??
?c＝3，a??c＝a＋b.
2
2
2
a2
－＝－1，c
解得，a2＝3，b2＝6，
xy
故所求双曲线的方程为－＝1.
36答案：C
x2y2
5．(2010·宝鸡模拟)P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的
ab
?????????5
离心率是，且PF1·PF2＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
4
22
A．4 B．7 C．6 D．5
c222222
解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x＋y＝4c，故4a＝(x－y)＝4c－36，又＝
a5
，∴c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7. 4答案：B
xy
6．设F1、F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在
ab点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0 解析：设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
得F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝?2c?2－?2a?2＝2b，故|PF1|＝4b， 根据双曲线定义4b－2c＝2a， 即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2， 即3b－4ab＝0，
b即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
a4
即y＝±x，即4x±3y＝0.
3答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为______________．
2
2
2
- 2 -
c
解析：椭圆①，②的b值相同，椭圆①的a值小于椭圆②的a值，由e＝＝
a得e1 同理可得1 x2y2 8．(2010·湖南十二校)已知点F、A分别为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点、右 ab AB＝0，则双曲线的离心率为________． 顶点，点B(0，b)满足FB· AB＝0，所以FB⊥AB，所以FB⊥AB，所以∠ABF＝90°解析：因为FB·，即AB2＋ ????????????????????????b1－??2可 a BF2＝AF2，所以a2＋b2＋b2＋c2＝(a＋c)2，解得双曲线的离心率为e＝ 答案： 1＋5 2 2 1＋5. 2 y2 9．(2010·北京西城)已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支 3上一点，则PA1·PF2的最小值为________． 解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则PA1＝(－1－x，－y)，PF2＝ 222222(2－x，－y)，PA1·PF2＝(－1－x)(2－x)＋y＝x－x－2＋y＝x－x－2＋3(x－1)＝4x－x－ ???????????????????????????5. ?????????1 ∵x≥1，函数f(x)＝4x－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，PA1·PF2取得最 8 2 小值－2. 答案：－2 三、解答题(共3个小题，满分35分) 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线方程； MF2＝0； (2)求证：MF1· ??????????(3)求△F1MF2面积． 解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. - 3 - ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6， ∴c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMF1＝ m ，kMF2＝， 3＋233－23m m2m2 kMF1·kMF2＝＝－. 9－123 ∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ?????∴MF1?????·MF2＝0. ＝(－3－2 ?????3，－m)，MF2?????法二：∵MF1?????∴MF1?????·MF2＝(23－3，－m)， ＝(3＋23)×(3－23)＋m2 ＝－3＋m2， ∵M点在双曲线上，∴9－m＝6，即m－3＝0， ?????∴MF1?????·MF22 2 ＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3. ∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6. 11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围． 解：(1)设双曲线C的方程为 xy －＝1(a>0，b>0)． a2b2 由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1， x ∴双曲线C的方程为－y2＝1. 3(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 将y＝kx＋2代入－y＝1， 3得：(1－3k2)x2－62kx－9＝0. 2 2 2 2 - 4 - ?Δ＝36?1－k?>0，?62k 由题意知?x＋x＝<0， 1－3k ?－9xx＝?1－3k>0， 2 A B 2 AB 2 1－3k2≠0， 解得 3 ∴当 3 62k 2， 1－3k (3)由(2)得：xA＋xB＝ ∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22 ＝22. 1－3k2 ?32k2? ?. ∴AB的中点P的坐标为?2，?1－3k1－3k2? 1 设直线l0的方程为：y＝－x＋m， k 42将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝. 1－3k2∵ 3 ∴m的取值范围为(－∞，－22)． x2 12．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点， 4而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和为原点)，求k的取值范围． x2y2 解：(1)设双曲线C2的方程为2－2＝1， ab 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， x2 故C2的方程为－y2＝1. 3x22 (2)将y＝kx＋2代入－y＝1， 3得(1－3k)x－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 2 2 ????????B，且OA·OB>2(其中O - 5 - ?1－3k≠0?， ?Δ＝?－62k?2＋36?1－3k2?＝36?1－k2?>0 122 ∴k≠且k<1，① 3设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝ 62k－9 ，xx＝2122. 1－3k1－3k 2 ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) 3k2＋7 ＝(k＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝2. 3k－1 2 又∵OA·OB>2，得x1x2＋y1y2>2， 3k2＋7－3k2＋9∴2>2，即>0， 3k－13k2－112 解得 31 由①②得 3故k的取值范围为(－1，－ 33 )∪(，1)． 33 ???????? - 6 -