的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。
第二部分 发散思考
【思考1】2012，石景山，一模
已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、
BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、
，在运动过程中始终保持DE?EC，且AD?DE?AB?a． B不重合）
（1）求证：?ADE∽?BEC；
（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD?BC?CD；
（3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周长；若无关，请说明理由．
第25题（1） 第25题（2） 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】2012，西城，二模
△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°， 且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】2012，怀柔，二模
如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=
35．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN． （1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问
B
O
N C
P M
B
（备用图）
C
A
D
A
D
比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】2012，北京
在?ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90?得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90? 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90?得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=
43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S?P1FC1=y，求y与x之间
的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）证明：∵ DE?EC，∴ ?DEC?90?．∴ ?AED??BEC?90?． 又∵ ?A??B?90?，∴ ?AED??EDA?90?． ∴ ?BEC??EDA．∴ ?ADE∽?BEC． （2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F， ∵ E是AB的中点，容易证明EF?12(AD?BC)．
12CD．
在Rt?DEC中，∵ DF?CF，∴ EF? ∴
12(AD?BC)?12CD．
∴ AD?BC?CD．
第25题
（3）解：?AED的周长?AE?AD?DE?a?m，BE?a?m． 设AD?x，则DE?a?x． ∵ ?A?90?，∴ DEa?m2a222?AE222222?AD．即a?2ax?x?m?x．
∴ x?．
由（1）知?ADE∽?BEC，
?ADE的周长?BEC的周长ADBE?2aa?ma?m2aa?m22 ∴
??a?m2a．
∴ ?BEC的周长???ADE的周长?2a．
∴ ?BEC的周长与m值无关．
【思考2答案】
解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD．
解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC是等边三角形，
APB12D图8 34C ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD．
∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD． ∴
?3??4?12?ACB?30?．
∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA =BC=AC． ∵ DB=DA，
∴ CD垂直平分AB． ∴
?3??4?12?ACB?30?．
∵ BP=BA， ∴ BP=BC．
∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．
DPAAAP或DBC
BCBC图9 图10 PD