陕西省永寿县中学 杨宏军整理 hongjunyang@qq.com
2012年高考真题理科数学解析分类汇编11 计数原理与二项式
?1.【2012高考重庆理4】????x???的展开式中常数项为
2x?148A.
3516 B.
358 C.
35 D.105
【答案】B
【解析】二项展开式的通项为Tk?1?C8k(x)8?k(得k?4，所以T5?()4C84?213581kk4?kk，令4?k?0，解)?()C8x22x1，选B
2.【2012高考浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 【答案】D
【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；
422第一类是取四个偶数，即C5?5种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即C5C4?60种
方法；第三类是取四个奇数，即C44?1故有5+60+1=66种方法。故选D。
3.【2012高考新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
(A)12种 (B)10种
(C)?种 (D)?种
【答案】A
【解析】先安排老师有A2?2种方法，在安排学生有C4?6，所以共有12种安排方案，选A.
4.【2012高考四川理1】(1?x)的展开式中x的系数是（ ）
A、42 B、35 C、28 D、21
【答案】D
kk2、27[解析]二项式(1?x)展开式的通项公式为Tk?1=C7x，令k=2，则T3?C7x
2272?x的系数为C7?21
22[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.
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5.【2012高考四川理11】方程ay?b2x2?c中的a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 【答案】B
【解析】法1: 方程ay?b2x2?c变形得x2?所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况： ?a??a（1）若b=-3，??a?a???2,c?0,或1,或2,或3?a??1,c??2,或0,或2,或3?a ; （2）若b=3, ??2,c??2,或0,或1,或3?a?a?3，c??2,或0,或1,或2???2,c?0,或1,或2,或3?1,c??2,或0,或2,或3?2,c??2,或0,或1,或3?3，c??2,或0,或1,或2ab2y?cb2，若表示抛物线，则a?0,b?0
以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条.
综上，共有23+23+16=62种
法2:本题可用排除法，a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，6选3全排列为120，这些方程所表示的
2曲线要是抛物线，则a?0且b?0,，要减去2A5?40，又b??2或2和b??3或3时，方
程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为3?3?2?18，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B. [点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
6.【2012高考陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
【答案】C.
【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.
7.【2012高考山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
【答案】C
【解析】法1:若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有
C4?C4?C4?64种，若2色相同，则有C3C2C4C4?144；若红色卡片有1张，则剩余2
1211122张若不同色，有C4?C3?C4?C4?192种，如同色则有C4C3C4?72，所以共有
111212164?144?192?72?472，故选C。
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3321法2:C16?4C4?C4C12?
16?15?146?16?72?560?88?472,答案应选C。
12?113312法3:C40C12?3C4?C4C12??12?4??220?264?12?472.
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8.【2012高考辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐
12?11?10法种数为
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C
【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有3!?3!?3!?(3!)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数为(3!)4，答案为C
【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。 9.【2012高考湖北理5】设a?Z，且0?a?13，若512012?a能被13整除，则a?
A．0 B．1
C．11
D．12
【答案】D
考点分析：本题考察二项展开式的系数.
2012020121201120111?C201252?C201252?...?C201252?1, 【解析】由于51=52-1，(52?1)又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.
10.【2012高考北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B
【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。 11.【2012高考安徽理7】(x?2)(21x2?1)的展开式的常数项是（ ）
5(A)?3 (B)?2 (C)? (D)?[
【答案】D
【命题立意】本题考查二项式定理的内容。 【解析】第一个因式取x，第二个因式取
21x214 得：1?C5(?1)?5，
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5第一个因式取2，第二个因式取(?1)得：2?(?15)??2 展开式的常数项是
5?(?2)?3．
12.【2012高考安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)2或4 【答案】D
【命题立意】本题考查等排列组合的运算问题。 【解析】C62?13?15?13?2．
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人， ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人． 循环不满足条件输出x?2?1?1?3，选C. 13.【2012高考天津理5】在(2x?21x)的二项展开式中，x的系数为
5（A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40
【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.
【解析】二项展开式的通项为Tk?1?C5(2x)32k25?k(?31x)k?C52k5?kx10?3k(?1)k，令
10?3k?1，解得3k?9,k?3，所以T4?C52x(?1)??40x，所以x的系数为?40，
选D.
14.【2012高考全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 【答案】A
【命题意图】本试题考查了排列组合的应用。
3【解析】第一步先排第一列有A3?6，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，
如图，所以共有6?2?12种，选A.
15【2012高考重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
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【答案】
35
【解析】6节课共有A66种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有A33A43种
113排法，三门文化课中、都相邻有A33A43种排法，三门文化课中有两门相邻有C32A22C2C2A3，
322113故所有的排法有2A33A4?C3A2C2C2A3，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的
概率为
2A3A4?C3A2C2C2A3A663322113?35
16.【2012
f高考浙江
2理14】若
5将函数
f?x??x5表示为
?x??a0?a1?1?x??a2?1?x????a5?1?x?， 其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝
______________．
【答案】10
【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
?a5?1?即：?C54a5?a4?0?C3a?C1a?a?0443?55?a3?10．
法二：对等式：f?x??次得：60x2x?a0?a1?1?x??a2?1?x????a5?1?x?525两边连续对x求导三
?6a3?24a4(1?x)?60a5(1?x)52，再运用赋值法，令x2??1得：60?6a3，即a3?10．
17.【2012高考陕西理12】(a?x)展开式中x的系数为10， 则实数a的值为 . 【答案】1．
rn?rr23223【解析】根据公式Tr?1?Cnab得，含有x的项为T3?C5ax?10x，所以a?1.
18.【2012高考上海理5】在(x?【答案】-160
2x)的二项展开式中，常数项等于 。
6【解析】二项展开式的通项为Tk?1?C66?kx6?k(?2x)k?C66?kx6?2k(?2)，令6?2k?0，
k33得k?3，所以常数项为T4?C6(?2)??160。
19.【2012高考广东理10】(x? 【答案】20
21x)的展开式中x3的系数为______．（用数字作答）
6——5——
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【解析】Tr?1?C6r(x2)6?r()r?C6rx12?3r，令12?3r?3得r?3，所以C63?20．
x120.【2012高考湖南理13】( 2x-【答案】-160 【解析】( 2x-1x1x)的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）
6
r6?r)的展开式项公式是Tr?1?C6(2x)(?6
1x)?C62rr6?r(?1)xr3?r.
33由题意知3?r?0,r?3，所以二项展开式中的常数项为T4?C32(?1)??160. 6【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 21.【2012高考福建理11】（a+x）的展开式中x的系数等于8，则实数a=_________. 【答案】2．
rn?rr333 【解析】根据公式Tr?1?Cnab得，含有x3的项为T4?C4ax?8x，所以a?2.
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22.【2012高考全国卷理15】若(x?该展开式中
1x21x)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则
n的系数为 。
【答案】56
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了n的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。
26【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即Cn?Cn，所以n?8，所
以展开式的通项为Tk?1?C8xk8?k1kk8?2k()?C8x，令8?2k??2，解得k?5，所以x15125T6?C8()，所以2的系数为C8?56.
xx
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