专题限时集训(十八)
[第18讲 概率与统计、离散型随机变量及其分布列]
(时间：45分钟)
1．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
2．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，则a⊥b的概率是( )
11A. B. 12672C. D. 369
3．某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
8154A. B. 1251253627C. D. 125125
4．为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间(h)，画出如图18－1所示的频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1 500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[0.5,1.5)内的人数约为________人．
图18－1
125．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.甲、乙两人在罚球线各投球两次，
25
则这四次投球中至少一次命中的概率是( )
12991A. B. C. D. 25100100
2
6．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)
3
上为增函数的概率是( )
12A. B. 2335C. D. 46
7．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，?，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9
8．如图18－2，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
图18－2 A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
9．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是________．
10．现有大小形状完全相同的标号为i的i个球(i＝1,2,3)，现从中随机取出2个球，记取出的这两个球的标号之和为X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
11．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是________．
12．河南某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)．统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：
信息技术 生物 化学 物理 数学 11111周一 4444211111周三 2222211112周五 33333(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
13．某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择： ①投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下所示：
X1 11 12 17 P a 0.4 b[来源学科网][来源:学科网
ZXXK] 且X1的数学期望E(X1)＝12； ②投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0 (3)若E(X1) 14．某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得 1 2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是和p(0 4 (1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率； (2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围． [来源学#科#网Z#X#X#K][来源学科网ZXXK] 专题限时集训(十八) 【基础演练】 1．960 [解析] 1500×(0.82＋0.46)×0.5＝960(人)． 401160320200 2．D [解析] 抽取比例为＝.故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，80020202020120 ＝10，＝6.答案D. 20 3．A [解析] 由a⊥b得m－2n＝0，所以事件“a⊥b”包含的基本事件为(2,1)，(4,2)，31 (6,3)共3个，所以a⊥b的概率是＝，故选A. 3612 338123224．A [解析] P＝C3·＋C3. 3＝555125【提升训练】 11 5．D [解析] 因为事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P＝×22339××＝， 55100 991 所以甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率P＝1－P＝1－＝. 1001006．D [解析] 基本事件的总数是36，y′＝2mx2－n，若函数在[1，＋∞)单调递增，则y′≥0nn 在[1，＋∞)上恒成立，即≤x2在[1，＋∞)上恒成立，即≤1，即2m≥n.在所有的基本事 2m2m65 件中2m 7．B [解析] 首先考虑系统抽样．从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，600 则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是＝12，故被抽取的号码成等差 50数列．其次考虑等差数列．该等差数列是以3为首项，12为公差，则其通项公式为an＝12n9 －9(n∈N*)．所以在第Ⅰ营区的学生数需满足0<12n－9≤300，解得 12的有25人；在第Ⅱ营区的学生数需满足300<12n－9≤495，解得在第Ⅱ营区的学生数为17人；在第Ⅲ营区的学生数需满足496≤12n－9≤600，解得在第Ⅲ区的学生数为8人．综上可知选择B. 8．B [解析] A1，A2至少有一个正常工作的概率是1－0.2×0.2＝0.96，所以系统正常工作的概率是0.9×0.96＝0.864. 9. 363 [解析] 第三次一定是红球，前两次一次白球一次红球．取到红球的概率为，取得1255 32?3362 C1×白球的概率为，所以所求的概率是??25×5?×5＝125. 5 21 C114C124C163＋C222C310. [解析] P(X＝3)＝2＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝2＝，23C615C615C615 [来源学科网ZXXK] C232463143P(X＝6)＝2＝，∴E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝. C615151515153 15 11. [解析] 将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一本64书的发法有 4C25A4，故每名同学至少有一本书的概率是 4 C2155A4P＝5＝. 464 12．解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则 1121 1－??1－??1－?＝. P(A)＝??2??2??3?12 1 5，?. (2)X可能取值为0,1,2,3,4,5，且X～B??2?1?51?1－P(X＝0)＝C05 ?2?＝32， 1?1?451－＝， P(X＝1)＝C1·5 2?2?32 ?1?2?1－1?3＝5， P(X＝2)＝C25·2???2?16?1?3?1－1?2＝5， P(X＝3)＝C35·2???2?16?1?4?1－1?＝5， P(X＝4)＝C452???2?32 1?51?P(X＝5)＝C552＝??32. 所以，随机变量X的分布列如下： X P 0 1 321 5 322 5 163 5 164 5 325 1 321555515E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 323216163232215 或E(X)＝np＝5×＝. 2213．解：(1)由题意得： ??a＋0.4＋b＝1，? ?11a＋12×0.4＋17b＝12.? 解得：a＝0.5，b＝0.1. (2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40. P(X2＝4.12)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，