2009届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考
理科数学
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设f:x?x2是集合A到B的映射，如果B={1，2}，则A∩B只可能是( )
A.φ或{1} B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}或{2} 2.要得到函数y?sin(2x?A．向左平移
?4)的图象，可以把函数y?sin2x的图象（ ）
??个单位 B．向右平移个单位 88??C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4423.与直线l1：mx?my?1?0垂直于点P（2，1）的直线l2的方程为( )
A.x?y?1?0 B.x?y?3?0 C.x?y?1?0 D.x?y?3?0
xax4.函数y?(0?a?1)的图象的大致形状是( )
xy y y 1 1 1 O O O x x x －1 －1 －1 (A) (B) (C)
5. 已知a、b为两条不同的直线, ? 、β为两个不同的平面，且a⊥? , b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ） ．．．
y 1 O －1 (D) x A.若a∥b，则? ∥β B.若? ⊥β，则a⊥b
C.若a、b相交，则? 、β相交 D.若? 、β相交，则a、b相交
2??x?cos?226.??R,那么曲线?与x?y?4一定（ ） 2??y??sin??2A.无公共点 B.有且仅有一个公共点
C.有且仅有两个公共点 C.有三个以上公共点
2?(当n为奇数时)?n，7.已知函数f(n)??2 且an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2?a3???a100 等于（ ）
?(当n为偶数时)??n，A．0 B．100 C．-100 D．10200
8. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x?4)?f(x); ②对于任意的0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2),③y?f(x?2)的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是（ ） A．f(4.5)?f(6.5)?f(7) B．f(4.5)?f(7)?f(6.5) C．f(7)?f(4.5)?f(6.5) D．f(7)?f(6.5)?f(4.5) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．计算：(1?i)(2?i)? . 10.若x?y?5,则xy的最大值是 . 11.
2?(4?2x?x02)dx= .
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12.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数z?2x?ay取得最大值的最优解有无数个，则a为_______________. 13.若平面上三点A、B、C满足AB?3，BC?4，CA?5,则
AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 。
14.在R上定义运算?: x?y = x ( 1－y ) , 若不等式 (x－a )?(x + a ) < 1对一切实数x都成立, 则实数a的
取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）如图. 在?ABC中,B??4,AC?25,cosC?25. 5A(1)求sinA;
(2) 记BC的中点为D, 求中线AD的长. BCD
16. （本小题满分13分）如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE
折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角. （1）证明：BE⊥C D′；
D' （2）求二面角D′—BC—E的正切值. AED
BC
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17. （本小题满分13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利
润与投资金额成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资金额的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资金额单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资金额的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使
公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
yy 2.40.31.60.2
o1.5x1o94x 图2 图1
18. （本小题满分13分）已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足|AC|?2,AD?1(AB?AC). 2 （1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的
距离为
4，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程. 5第 3 页 共 8 页
19. （本小题满分14分）已知数列?an?满足a1?an?11(n?2,n?N)． ，an?n4??1?an?1?2?1n?????1（1）试判断数列??是否为等比数列，并说明理由； a?n?1（2）设bn?2，求数列?bn?的前n项和Sn；
an(2n?1)?2?（3）设cn?ansin，数列?cn?的前n项和为Tn．求证：对任意的n?N，Tn?．
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20. （本小题满分14分）已知 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 是定义在R上的函数, 其图象交x轴于A, B, C三点,
若点B的坐标为(2, 0 ), 且 f (x) 在[－1, 0 ]和[4, 5]上有相同的单调性, 在[0, 2]和[4, 5]上有相反的单调性.
b
(1)求 的取值范围；
a
(2)在函数 f (x) 的图象上是否存在一点M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点M 的切线斜率为3b ? 若存在,求
出点M的坐标；若不存在,说明理由； (3)求| AC |的取值范围.
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