2009届高三水平测试
数学（理科）参考答案
一.ABDD DBBB
25413
二. 9. 3－i 10. 11. 12. －2, 或6 13. -25 14. (－ , )
32242515. 解: (1)由cosC?, C是三角形内角，
5?25?52??得sinC?1?cosC?1?? ?5?5??
2sinA?sin[??(B?C)]?sin(B?C)?sin??cosC?cossinC
44?2225310?5??? 252510AC25310BCAC(2) 在△ABC中,由正弦定理， ，BC?sinA????6
sinB10sinAsinB22125
? CD = BC = 3 , 又在△ADC中, AC=25 , cosC = ,
25
由余弦定理得, AD?AC2?CD2?2AC?CD?cosC
=20?9?2?25?3?25?5 516. 解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC. 又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC, ∴BE⊥面D′EC，又C D′? 面D′EC , ∴BE⊥CD′； （2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC 垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC. ∵平面D′EC⊥平面BEC, ∴D′M⊥平面EBC, ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得： A D′F⊥BC ∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角.
B2111 在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB=
D'EMFCD2222
∴tan?D?FM?D?M?2, MF即二面角D′—BC—E的正切值为2.
法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系.
22，） 22设平面BEC的法向量为n1?(0,0,1)；平面D′BC的法向量为n2?(x2,y2,z2)
则B（2，0，0），C（0，2，0），D′（0，
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22BC?(?2,2,0),D?C?(0,,?),22??2x2?2y2?0?n?BC?0?2?由???2??2??y?z?0n?DC?0?? tan?n1,n2?= 2 22?22?2x取x2?1,得n2?(1,1,1),?cos?n1,n2??n1?n2|n1|?|n2|?33zD'AEDCyB∴二面角D′—BC—E的正切值为2. 17. 解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
11，?k1?． 55414又g(4)?1.6，?k2?．从而f(x)?x(x?0)，g(x)?x(x?0)．
555（2）设B产品投入x万元，则A产品投入(10?x)万元，设企业利润为y万元．
10?x4y?f(10?x)?g(x)??x(0?x?10)，
5510?t24114(0?t?10)． 令x?t，则y??t??(t?2)2?555514当t?2时，ymax??2.8，此时x?4．
5答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元． 18. 解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0,y0)，D(x,y)，则AC?(x0?2,y0），
由题意设f(x)?k1x，g(x)?k2x．由图知f(1)?AB?(4,0), 则AB?AC?(x0?6,y0)，故AD?xy1(AB?AC)?(0?3,0) 222?x0?3?x?2,??x0?2x?2,?2又AD?(x?2,y),故? 解得??y0?2y.?y0?y.??22代入|AC|?(x0?2)2?y0?2中, 整理得x?y?1，即为所求点D的轨迹方程.
22（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y?k(x?2) ①.
x2y2又设椭圆方程为2?2?1(a2?4) ②.
aa?4因为直线l：kx－y+2k=0与圆x?y?1相切.故
22222222|2k|12?1，解得k?.
3k2?12242将①代入②整理得，(ak?a?4)x?4akx?4ak?a?4a?0 ③ 将k?213代入上式，整理得 (a2?3)x2?a2x?a4?4a2?0， 34a2设M（x1,y1)，N（x2,y2)，则x1?x2??2，
a?32a42由题意有2?2?(a2?3)，求得a?8.经检验，此时③的判别式??0.
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x2y2故所求的椭圆方程为??1.
84121119. 解：（1）?，??(?1)n??(?1)n?(?2)[?(?1)n?1]，
anan?1anan?1又??11n??(?1)?3，∴数列????1??是首项为3，公比为?2的等比数列． a1?an?（2）依（Ⅰ）的结论有
11?(?1)n?3(?2)n?1，即?3(?2)n?1?(?1)n?1. ananbn?(3?2n?1?1)2?9?4n?1?6?2n?1?1．
1?(1?4n)1?(1?2n)Sn?9??6??n?3?4n?6?2n?n?9．
1?41?2(?1)n?1(2n?1)?n?1（3）?sin ?(?1)，又由(Ⅱ)有an?n?123?2?111111． 则 ?cn?T??????nn?12n?13?13?2?13?2?13?2?13?2?111?n111112=2 ( 1－1)<2 ?3 ( 1??2?????n?1) = 3 132222n31?22?∴ 对任意的n?N，Tn?．
320. 解: ( 1 )因为 f (x) 在[－1, 0 ]和[0, 2]上有相反的单调性.所以 x = 0 是 f (x) 的一个极值点, 故 f /( 0 ) =
0, 即 3ax2 + 2bx + c = 0 有一个解为x = 0, 则c = 0.
2b
此时, 易得 3ax2 + 2bx = 0的另一解x = － , 因为 f (x) 在[0, 2]和[4, 5]上有相反的单调性, 所
3a
2b2bb
以, － ≥2 且－ ≤4 ?－6 ≤ ≤－3.
3a 3a a
( 2 )假设存在点M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点M 的切线斜率为3b, 即f /( x0 ) = 3b, 即
b
3ax02 + 2bx0 －3b = 0 , ∵ △ = ( 2b )2 － 4×3a×(－3b) = 4b2 +36 ab = 4 ab ( + 9 ),
a
b
而－6 ≤ ≤－3, ∴△< 0. 故不存在一点M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点M 的切线斜率为3b.
a
(3 ) 依题意可令 f (x) = a (x―2) (x―? ) ( x―? ) = a [ x3 ― (2+? +? )x2 + ( 2? + 2? +? ? )x ―2? ? ]
b
? +? = ― ―2? b=－a (2 + ? + ? )a
则 ? ? d? d=－2a? ?
? ? =―2a
因为 f (x) 交x 轴于点B ( 2, 0 ), 所以 8a + 4b + d = 0 ,
db
即 d = －4 ( b + 2a ) , 于是, = －4 ( + 2),
aa
???
∴ | AC |=| ? ―? | = (? +? )2 －4? ?
b2dbbb= (― ―2 )2 + = ( + 2 )2－8 ( + 2 ) = ( ―2)2―16 ,
a aaa abbb
因为－6 ≤ ≤－3, 所以, 当 =―6时, | AC |max = 43 , 当 =―3时, | AC |min = 3
aaa
故3≤| AC |≤43 .
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