数学必修一复习提纲
第一章 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：
⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：
⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：
ü 从属关系：对象 ?、? 集合；包含关系：集合 ?、 集合
五．三种运算： 交集：A?B?{x|x?A且x?B} 并集：A?B?{x|x?A或x?B} 补集：eUA?{x|x?U且x?A} 六．运算性质： ⑴ A???A，A????． ⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若A?B，则A?B?A，A?B?B． ⑷ ⑸ A?（eUA）??A?（eUA）?U痧（，，UUUA）?A． B）?e（A?B）U（痧A）（?UB）?e（A?B）（痧A）（?UU，U． n ⑹ 集合n{a1,a2,a3,???,an}的所有子集的个数为2，所有真子集的个数为2?1，所有非空真子集的个Cn2n数为2?2，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为第二章 函数 指数与对数运算 一．分数指数幂与根式： ． 如果x?a，则称x是a的n次方根，0的n次方根为0，若a?0，则当n为奇数时，a的n次方根有1
nn个，记做a；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有2个，其中正的n次方根记做a．负
nn?a． n的次方根记做1．负数没有偶次方根；
nn2．两个关系式：
(na)?aan；
n?an为奇数???|a|n为偶数
m3、正数的正分数指数幂的意义：aa?mnnam；
??1n 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质：
am．
⑴ a?a?a ⑶ (a)?a0mnm?n； ⑵ a?a?ammmnm?n；
mnmn； ⑷ (a?b)?a?b；
m ⑸ a?1，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数 二．对数及其运算
bb?logaN1．定义：若a?N(a?0，且a?1，N?0)，则．
2．两个对数：
b?log10N?lgN ⑴ 常用对数：a?10，； b?logeN?lnN ⑵ 自然对数：a?e?2.71828，． 3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即loga1?0； ； ⑵ 底数的对数是1，即logaa?1 ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则： loga(MN)?logaM?logaNlogaMN?logaM?logaN ⑴ ； ⑵ ； ⑶ logaMn?nlogaM； ⑷ loganM?1nlogaM． 5．其他运算性质： ⑴ 对数恒等式：alogab?b； logab?logcalogcb ⑵ 换底公式： ⑶ ； ； logab?logbc?logacn；logab?logba?1 ⑷ logamb?nmlogab． 函数的概念 一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做y?f(x)，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域． 三．函数y?f(x)是由非空数集A到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域． 函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知f(x?1)?x?2x，求函数f(x)的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，函数f(x)的解析式． 三．由函数f(x)的图像受制约的条件，进而求f(x)的解析式． 函数的定义域 一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：x?R ⑵ 分式：分母不等于0 ⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 ⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知y?f(x)定义域为[2,5]，求y?f(3x?2)定义域； 已知y?f(3x?2)定义域为[2,5]，求y?f(x)定义域； 三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域． 函数的值域 一．基本函数的值域问题： 名称 一次函数 解析式 y?kx?b值域 R a?0时，[4ac?b4a2,??)二次函数 y?ax?bx?c 2 2a?0时，(??,4ac?b4a] 反比例函数 指数函数 对数函数 y?kx x{y|y?R，且y?0} y?a {y|y?0}R y?logaxy?sinx 三角函数 {y|?1?y?1}y?cosx y?tanx R 二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x??(y)．若对于C中的每一y值，通过x??(y)，都有唯一的一个x与之对应，那么，x??(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x??(y)(y?C)叫做函数y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y),习惯上改写成y?f?1(x)．
二．函数f(x)存在反函数的条件是：x、y一一对应． 三．求函数f(x)的反函数的方法： ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域 ⑵ 反解，用y表示x，得x?f ⑶ 交换x、y，得y?f ⑷ 结论，表明定义域 四．函数
y?f(x)?1?1(y)
(x)
与其反函数y?f与y?f?1?1(x)的关系：
⑴ 函数 ⑵ 若
f?1y?f(x)(x)的定义域与值域互换．
(a,b)y?f(x)图像上存在点
，则y?f?1(x)的图像上必有点(b,a)，即若f(a)?b，则
(b)?a．
?1 ⑶ 函数y?f(x)与y?f函数的奇偶性：
(x)的图像关于直线y?x对称．
一．定义：对于函数f(x)定义域中的任意一个x，如果满足f(?x)??f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果满足f(?x)?f(x)，则称函数f(x)为偶函数． 二．判断函数f(x)奇偶性的步骤：
1．判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；
2．验证f(x)与f(?x)的关系，若满足f(?x)??f(x)，则为奇函数，若满足f(?x)?f(x)，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
三．已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(M?N??)上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
f(x) g(x) ?f(x)1 f(x) f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)?g(x) 奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 偶
五．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0．
六．一次函数y?kx?b(k?0)是奇函数的充要条件是b?0； 二次函数y?ax?bx?c(a?0)是偶函数的充要条件是b?0． 函数的周期性： 一．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)2偶 奇 偶 偶 偶 偶 奇 奇 偶 ，则f(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期． 2．如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．如T果函数f(x)的最小正周期为T，则函数f(ax)的最小正周期为|a|． 函数的单调性 xx一．定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1，2，
当
x1?x2时满足： ，则称函数f(x)在该区间上是增函数； ，则称函数f(x)在该区间上是减函数． ⑴ ⑵ f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)二．判断函数单调性的常用方法： 1．定义法： ⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论： *2．导数法： ⑴ 求函数f(x)的导数f'(x)； ⑵ 解不等式f'(x)?0，所得x的范围就是递增区间； ⑶ 解不等式f'(x)?0，所得x的范围就是递减区间． 3．复合函数的单调性：
对于复合函数y?f[g(x)]，设u?g(x)，则y?f(u)，可根据它们的单调性确定复合函数
y?f[g(x)]，具体判断如下表：
y?f(u)u?g(x) 增 增 增 减 减 增 减 减