北京四中
用函数的观点看方程（组）与不等式
撰 稿：徐长明 审 稿：谷丹 责 编：孙景艳
一、目标认知学习目标：
1. 理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方
程组的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法
解二元一次方程组。
2. 学习用函数的观点看待方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
重点：
一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的探究建模。
难点：
一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解
二、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系
要点诠释：
1、一次函数与一元一次方程
由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a、b为常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），确定它与x轴交点的横坐标的值.
2、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+ｂ＞0或ax+ｂ＜0或
或
（a、ｂ为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的
值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 3、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等式时对应方程的解。
知识点二：一次函数与二元一次方程（组）
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 要点诠释：
1、两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图
象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相
应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数y=－2x+4与y=(3，－2)，则
图象的交点为
就是二元一次方程组的解.
2、当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函
数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次
方程组
无解，则一次函数y=3 x－5与y=3 x +1的图象就平行，反之也
成立.
3、当二元一次方程组有无穷解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立。
三、规律方法指导
1．重视函数概念中蕴涵的思想，多从运动变化和联系实际的角度去认识函数
学习函数不能只注重记忆定义而不关注其实质，要准确理解概念的真正含义，即函数概念的实质就是运动变化．在学习时应本着从具体到抽象，从特殊到一般的思路逐步深化．
2．加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用
函数与方程、不等式联系紧密，学习函数后，可以用函数的观点对学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行分析．
3．挖掘社会生活实际的素材，体会数学与现实生活的广泛联系
一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，如有关计时的漏刻、沙漏、日暑、钟表等，计重的弹簧秤、杆秤，以及测量血压、气压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例．
4．重视数形结合的思想方法
学习本章，应从数与形中多方面去认识、理解函数，解决问题，培养加强图象识别与应用的能力，避免习惯性的“代数化”倾向，充分发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势．经典例题透析
类型一：“三个一次型”的关系
1、阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝
1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①．
观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组
的解，所以这个方程组的解为
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；
y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它右下方的部分，如图③．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；
（2）用阴影表示，所围成的区域．
思路点拨：本题是一道阅读理解性考题，主要考查应用一次函数的图象解方程组和一元一次不等式的能力． 解析：
（1）如图所示，
在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，
则是方程组的解．
这两条直线的交点是P（－2，6）． （2）阴影如图所示．
举一反三：
【变式1】日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表： （单位：千元/吨） 品种 西施舌 对虾 先期投资 9 4 养殖期间投资 3 10 产值 30 20 养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x吨 （1）求x的取值范围；
（2）设这两个品种产出后的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少
时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】分析：本题考查学生一次函数、不等式组的综合运用，由不等式组确定一次函数自变量的取值范围，根据一次函数的增减性确定y的最大值．
解：（1）设西施舌的投放量为x吨，则对虾的投放量为（50-x）吨，
根据题意，得：
解之，得： ∴30x32．
（2）y=30x+20(50-x)=10x+1000． ∵10＞0，
y随x的增大而增大．
30x32， 当x=32时，y=1032+1000=1320．
所以当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元．
类型二：方案设计
2、某化工厂生产某种化肥，每吨化肥的出厂价为1780元，其成本为900元，但
在生产过程中，平均每吨化肥有280立方米有害气体排出，为保护环境，工厂需对有害气体进行处理．
现有两种处理方案可供选择：