考前自測
數 學（文史類）
第Ⅰ卷（選擇題
共50分）
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1、i是虛數單位元，若集合S???1,0,1?，則
A．i3?S B．i6?S C．????1?3?3?22i???S D．
???????13?2?????i?22??? ???S??2、高三某班有學生56人，現將所有同學隨機編號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4
的樣本，已知5號、33號、47號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號為 A．13 B．17 C．19 D．21
3、正弦函數y?sin(x?3?2),x?R的圖像關於（ ）對稱 A．y軸 B．直線x?3?2 C．直線x??2 D．直線
x???2
4、已知f?x???x?sinx，命題p:?x???0,???2??，f?x??0，則 A．p是假命題，?p:?x????0,??2??,f?x??0 B．p是假命題，
?p:?x???0???0,2??,f?x??0
C．p是真命題，?p:?x????0,??2??,f?x??0 D．p是真命題，
?p:?x???0???0,2??,f?x??0
5、在空間中，給出下列四個命題：
①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；②若平面外兩點到平面的距離相等，則過這兩點的直線必平行於該平面；③兩條相交直線在同一平面內的射影必為相交直線；④兩個相互垂直的平面，一個平面內的任意一直線必垂直於另一個平面內的無數條直線。其中正確的是A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6、已知直線l:xsin??ycos??1，其中?為常數且???0,2??，則錯誤???
的結論是 A．直線l的傾斜角為?； B．無論?為何值，直線l總與一定圓相切；
2
C．若直線l與兩坐標軸都相交，則與兩坐標軸圍成的三角形的面積不小於1； 1
1
正視圖
版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com 2 側視圖
D．若P?x,y?是直線l上的任意一點，則x2?y2?1； 7、某幾何體的三視圖如圖所示，則其側面的直角三 角形的個數為
A．4 B．3 C．2 D．1 8、設a?b?2，b?0，則A．
俯視圖
a1?的最小值是 2ab351 B． C． D．242開始 23 49、執行如圖所示的程式框圖，輸入的x,y?R， 輸出的z的範圍為不等式ax?bx?2?0?a?0? 的解集，則a?b的值為
A．?1 B．1 C．0 D．2
10、一矩形的一邊在x軸上，另兩個頂點在函數
是 輸入x,y x?2?0,y?0 2x?2y?2?0?否 z?x?y z?1 xy??x?0?的圖像上，如圖，則此矩形繞
1?x2x軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是
A．? B．C．
輸出z 結束 ?3
?4 D．
? 2
第二部分 （非選擇題 共100分）
二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分． 11、如果對於正數x,y，有
11log2x?log2y?1，那麼x3y2? ▲ ； 2312、若等差數列?an?滿足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，則當n＝_▲_______時，?an?的前n項和最大；
x2y213、已知拋物線y?2px?p?0?與雙曲線2?2?1?a?0,b?0?有相同的焦點F，點A
ab2是兩曲線的
一個交點，且AF?x軸，則雙曲線的離心率為 ▲ ；
14、通訊衛星C在赤道上空3R（R為地球半徑）的軌道上， 它每24小時繞地球一周，所以它定位於赤道上某一點的上空。 如果此點與某地A（北緯60?）在同一條子午線上，則在A觀察
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A B C 此衛星的仰角的正切值為 ▲ ；
15、設定義域為?x1,x2?的函數y?f?x?的圖像的為C。圖像的兩個端點分別為A、B，點O且滿足x??x1??1???x2
?????????????為座標原點，點M是C上任意一點，向量OA??x1,y1?，OB??x2,y2?，OM??x,y?，?????????????0???1?，又設向量ON??OA??1???OB。現定義函數y?f?x?在?x1,x2?上“可
?????在標準k下線性近似”是指MN?k恒成立，其中k?0，k為常數。給出下列結論：
?（1）A、B、N三點共線 （2）直線MN的方向向量可以為a??0,1?
（3）函數y?5x在?0,1?上“可在標準1下線性近似”
2（4）若函數y?x?13在?1,2?上“可在標準k下線性近似”，則k??2. x2其中所有正確結論的序號是 ▲ 。
三.解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16.(本小題滿分12分)
????????在?ABC中，記?BAC?x（角的單位是弧度制），?ABC的面積為S，且AB?AC?8，4?S?43。
（1）求x的取值範圍；
（2）根據（1）中x的取值範圍，求函數f?x??23sin2?x?值和最小值。
▲
17、(本小題滿分12分)
如圖所示，?ABC與?DBC是邊長均為2的等邊三角形， 且所在兩平面互相垂直，EA?平面ABC，且EA?3 （1）求證：DE//平面ABC
B F M C ▲
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????2??2cosx?3的最大4?D E
?????????（2）若2CM?ME,求多面體DMAEB的體積；
A
18、(本小題滿分12分)
2已知在數列?an?中，a1?1，當n?2時，其前n項和Sn滿足Sn?anSn?2an?0。
（1）求數列?an?的通項公式； （2）若bn?2n?1，記數列?
▲
19、(本小題滿分12分)
如圖是某市3月1日至14日的空氣品質指數趨勢圖，空氣品質指數小於100表示空氣品質優良，空氣品質指數大於200表示空氣品質重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，並停留2天。
250 220 217 空200 氣160 品158 160 質150 143 指100 121 86 數79 86 57 50
37 40 25 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日 14日
（1）求此人到達當日空氣重度污染的概率；
（2）設此人停留期間空氣品質至少有1天為優良的事件的概率。
（3）由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣品質指數方差最大？（結論不要求證明）。
▲
20、(本小題滿分13分)
設點P為圓C1:x2?y2?2上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，點M滿足
?1??的前項和為Tn，求證：Tn?3。 Sb?nn?日期
?????????2MQ?PQ。
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（1）求點M的軌跡C2的方程；
（2）過直線x?2上的點T作圓C1的兩條切線，設切點分別為A、B，若直線AB與（1）中的曲線C2交與C、D兩點，求
▲
21、(本小題滿分14分)
CDAB的取值範圍。
P M Q O y A C T x D B 2已知函數f?x??x3?2tx?t?lnx?t?R?
3（1）若曲線y?f?x?在x?1處的切線與直線y?x平行，求實數t的值； （2）證明：對任意的x1,x2??0,1?及t?R,都有f?x1??f?x2??t?1?1lnx1?lnx2成立。
??參考答案
▲
一 1-5 BCADC 6-10 ABDDC
二、填空题（共25分）
11_____64____________ 12___8________ 13____2?1__ 14______3____ 615__(1) (2) (4)________ 三、解答题 16（12分）
????????1解：（1）因为?BAC?x，AB?AC?8，所以，bccosx?8，又S?bcsinx，所以，
2S?4tanx，
??又4?S?43，所以，1?tanx?3，所以，x的取值范围是：?x?；
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