1.3 弧度制
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列诸命题中，真命题是（ ） A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：由1弧度的意义可知，选D. 答案：D
2.下列诸命题中，假命题是（ ）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1度的角是周角的
11，1弧度的角是周角的 3602?C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ. 答案：D
3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________ rad. 解析：由α=答案：2
l2，可得圆心角α的弧度为=2 rad. r18?弧度化为角度是____________. 5?5?解析：-300°=×（-300）rad=?,
18038?8rad=180°×=288°. 555?答案：? rad 288°
34.-300°化为弧度是，
10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在直角坐标系中，集合S={β|β=k·
?，k∈Z}的元素所表示的角的终边在（ ） 2A.第一象限 B.x轴上 C.y轴上D.坐标轴上
解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β|β=
k?，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的2终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上.所以β角的终边应落在坐标轴上. 答案：D
2.下列两组角中，终边不相同的是（ ） A.
?3?2?4?+kπ与?+kπ（k∈Z）B.?+2kπ与（k∈Z）
33?2k?44
C.
?13?5?7?+2kπ与+2kπ（k∈Z）D.+2kπ与?+2kπ（k∈Z）
126612?4解析：对整数k的取值进行分类讨论.一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中，kπ+和kπ-
3?5?7?（k∈Z）的终边相同；D中，由于和?不在一个象限，所以它们的终边41212不相同.
答案：D
4?rad化为度应是_____________. 54?4解析：∵π rad=180°，∴rad=×180°=144°.
553.
答案：144°
4.把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.
27?39?； （2）. 4627?3?27?解：（1）=6π+,在第二象限；
44439??39??6??,（2）的终边落在y轴的正半轴上. 626（1）
5.某飞轮直径为1.2 m，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：
（1）飞轮每分钟转过的弧度数；
（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长. 解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π， 所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600π rad.
（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈. 又飞轮直径为1.2 m，
∴一圈的长（即圆的周长）为1.2π m.
因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2π m=6π m. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下列各命题中正确的是（ ）
A.地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数 B.用弧度制表示的角都是正角
C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大 D.圆心角为1弧度的扇形的弧长相等
解析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数.所以A正确；对于弧度制，定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等，所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以B不正确. 答案：A
2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度. 解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为3r，即弧长为3r，所以所求圆心
角的弧度数为|α|=
l3r??3. rr答案：3
3.地球赤道的半径是6 370 km，赤道上1°的弧长是__________ km.（可用计算器） 解析：由于1°=
?180≈0.017 45 rad，
所以赤道上1°的弧长是0.017 45×6 370 km=111.156 5 km.
答案：111.156 5
3?,π),求α+2β,α-2β的范围.
434??3?3?3?解：∵?<α<,<β<π,则<2β<2π,-2π<-2β
423425?7?9?7????2?????2???∴,?. 43464.已知α∈(???,)，β∈(
5.将下列各角从弧度化为度：
5?； （2）-20. 125?5解：（1）?rad=?×180°=-75°；
1212（1）?（2）-20 rad≈57.3°×（-20）=-1 146°.
6.将下列角度数化为弧度数：
（1）-12°45′； （2）112°30′. 解：(1)-12°45′=-12?75°=-12.75×（2）112°30′=112.5°=112.5×
?180rad??17?； 240?180rad?5?rad. 87.已知一扇形的周长是40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r. ∴S=
11lr?×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100. 222
∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm，这时θ=
l(40?2?10)?rad=2 rad. r108.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角. 解：设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为23r，由题意知弧长为23r，
所以这段弧所对的圆心角的弧度数为
23r?23rad. r9.已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.
解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π. 又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=∴k=4或5.∴θ=
3?. 22k?2k?3?721(k∈Z)，∴π<<,即?k?. 772244?5?或. 771，所以 210.在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. 解：如图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=
r=OA=
1sin2111则弧长l=|α|·r=,面积S=lr?.
112sin2sin222AC?sin?AOC1.