310
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为10.
→→→→
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ. n2?225?n1·
?由|cos θ|＝?|n|·＝＝，得sin θ＝
3. ?1|n2|?9×13
11．【解】 (1)证明 法一 设AD＝1，则DQ＝2，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝2.∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ.又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC.∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ?平面ADPQ，∴CD⊥PQ， 又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
法二 如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D—xyz. 设AD＝1，AB＝m(m＞0)．依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)， →→→
P(0,2,0)，Q(1,1,0)．则DC＝(0,0，m)，DQ＝(1,1,0).PQ＝(1，－1,0)， →→→→所以PQ·DC＝0，PQ·DQ＝0，即PQ⊥DC，PQ⊥DQ.又DQ∩DC＝D. 所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. →→
(2)依题意有B(1,0，m)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－m)． →??n1·CB＝0，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则?→
??n1·BP＝0，
?x1＝0，
即? ?－x1＋2y1－mz1＝0，
因此可取n1＝(0，m,2)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，则 →??n2·BP＝0，?→?n2·?PQ＝0，
?－x2＋2y2－mz2＝0，
即?可取n2＝(m，m,1)． ?x2－y2＝0，
3?
?－，∴|cos〈n，n〉|＝12
5?
3?
?. 5?
又∵二面角Q—BP—C的余弦值为－m2＋2
∴＝22m＋4·2m＋1
AB342
，整理得m＋7m－8＝0.又∵m＞0，解得m＝1.因此，所求的值为1. 5AD12、【解】 (1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．
(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， →→→
DA＝(0,0,1)，BC＝(－2,2,0)，BA＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n→→
＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，∴n·DA＝0，n·BC＝0， ?z＝0，得?取n＝(1,1,0)， －2x＋2y＝0，?
→
?BA→·n?210
∴sin θ＝|cos〈BA，n〉|＝?＝＝5. →?5×2?|BA||n|?
法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)． 1??
∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E?1，0，2?，F(1,0,0)，G(0,1,0)．
??→?→1?→
∴FE＝?0，0，2?，FG＝(－1,1,0)，BA＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
??1?→→?z＝0，
则n·EF＝0，n·FG＝0，得?2
??－x＋y＝0，
取n＝(1,1,0)，
→?BA→·n?210
∴sin θ＝|cos 〈BA，n〉|＝?＝＝. 5→?5×2
?|BA||n|?
13、【解】 (1)证明：如图，连结AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1. 当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1.
所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由已知得E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，
→→
FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)．设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，→??FE·n＝0，则由?→
?FP·?n＝0，
?x＋y＝0，
可得?于是可取n＝(λ，－λ，1)．
?－x＋λz＝0.
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 2即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2. 2
故存在λ＝1±2，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．
14、【答案】（1）证明略；（2）
错误！未找到引用源。
试题解析：（1）由题设可得，错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。是直角三角形，所以错误！未找到引用源。.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于错误！未找到引用源。是正三角形，故错误！未找到引用源。. 所以错误！未找到引用源。为二面角错误！未找到引用源。的平面角.在错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。.
又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。.所以平面ACD⊥平面ABC.
故
错误！未找到引用源。
设是平面DAE的法向量，则即 可取错误！未找到引用源。
错误！错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
.
未找到引用源。
设错误！未找到引用源。是平面AEC的法向量，则同理可取.则
错误！未找到引用源。
错错误！未找到引用源。
.
误！未找到引用源。
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
错误！未找到引用源。15、【答案】（I）详见解析；（II）错误！未找到引用源。． 试题解析：（I）由已知得错误！未找到引用源。.
取错误！未找到引用源。的中点错误！未找到引用源。，连接错误！未找
.
到引用
源。，由错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。中点知错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，四边形错误！未找到引用源。为平行四边形，于是错误！未找到引用源。.
因为错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。.
（II）取错误！未找到引用源。的中点错误！未找到引用源。，连结错误！未找到引用源。.由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，且 错误！未找到引用源。.
以错误！未找到引用源。为坐标原点，错误！未找到引用源。的方向为错误！未找到引用源。轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系错误！未找到引用源。.由题意知，
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.
设错误！未找到引用源。为平面错误！未找到引用源。的一个法向量，则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。
可取错误！未找到引用源。.于是错误！未找到引用源。.
16、试题解析：（Ⅰ）取错误！未找到引用源。中点错误！未找到引用源。，连接错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。是直角梯形， 错误！未找到引用源。又错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系， 则错误！未找到引用源。
设错误！未找到引用源。是平面错
误！未找到引用源。的一个法向量. 则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
17.试题解析：
（Ⅰ）连接错误！未找到引用源。交错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。，依题意得错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，
所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，
即错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。.
所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.
（Ⅱ）因为平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，由（Ⅰ）知， 错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，
以错误！未找到引用源。为原点，建立空间直角坐标系错误！未找到引用源。如图所示.
在错误！未找到引用源。中，易得错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 所以错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，
设平面错误！未找到引用源。的法向量错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，
令错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，显然平面错误！未找到引用源。的一个法向量为错误！未找到引用源。.
所以错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，所以二面角错误！未找到引用源。的余弦值为错误！未找到引用源。.
18. 【答案】（Ⅰ）由见解析； （Ⅱ）错误！未找到引用源。.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面错误！未找到引用源。内过错误！未找到引用源。作直线错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，
故以错误！未找到引用源。为原点， 错误！未找到引用源。分别为错误！未找到引用源。轴的正方向建立空间直角坐标系，
则错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。，
于是错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。， 设平面错误！未找到引用源。的法向量为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。
令错误！未找到引用源。，得平面错误！未找到引用源。的一个法向量错误！未找到引用源。，显然平面错误！未找到引用源。的一个法向量为错误！未找到引用源。，
故错误！未找到引用源。，即二面角错误！未找到引用源。的余弦值为错误！未找到引用源。. 19. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）错误！未找到引用源。.
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，只需证错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。即可.
（Ⅱ）分别以错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。所在直线为轴、错误！未找到引用源。轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面错误！未找到引用源。的一个法向量和平面错误！未找到引用源。
的一个法向量求解即可.