（2）直线l的斜率是否为定值？证明你的结论.
21．（本小题满分14分）
yBDAElFOM?Cx第20题图
a(x?1)2（a?R，a?0），g(x)?x?x． x?1a(x?1)（1）求函数h(x)?alnx??g(x)的单调区间,并确定其零点个数；
x?1已知函数f(x)?lnx?（2）若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围； （3）证明不等式
1111． ??????lnn?1（n?N*）
3572n?12013年广东省六校高三年级第四次联考
数学（文科）参考答案 2013.5
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 B 10 A 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11． 4 12． 16 13．?1 14．
325 15． 25三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）
某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为11:10，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为
1． 6（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；
（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下2?2列联表：
男生 女生 总计 ①完成列联表；
②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？
（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．
现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．
解答时可参考下面临界值表： 否定 30 肯定 10 总计 P(K2?k0) 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 k0 解：（1）共抽取630?6?105人，??????????????????????1分
男生 105?（2）①
1110?55人， 女生105??50人，???????????3分 2121 男生 女生 总计 否定 45 30 75 肯定 10 20 30 总计 55 50 105 ????4分
② 假设H0: 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关
n(ad?bc)2105(45?20?10?30)2 k0???6.110
(a?c)(b?d)(a?b)(c?d)75?30?55?50 因为 6.11?05., 0 2 P(K2?5.024)?0.025
所以 有97.5%的把握认为态度与性别有关.????????????8分
（3）记一班被抽到的男生为A1,A2,A3,A4,a，A1,A2,A3,A4持否定态度，a持肯定态度；
二班被抽到的女生为B1,B2,b1,b2，B1,B2持否定态度，b1,b2持肯定态度. 则所有抽取可能共有20种：(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1)，(A1,b2)；(A2,B1)，
(A2,B2)，(A2,b1)，(A2,b2)；(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,b1)，(A3,b2)；(A4,B1)，
(A4,B2)，(A4,b1)，(A4,b2)；(a,B1)，(a,B2)，(a,b1)，(a,b2).???10分
其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：(A1,b1)，(A1,b2)，(A2,b1)，
(A2,b2)，(A3,b1)，(A3,b2)，(A4,b1)，(A4,b2)，(a,B1)，(a,B2).??11分
记“从这9人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事
件为M,则P(M)?101?. ????????????????????12202分
答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关；
（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为
1.???????????13分 217．（本小题满分12分）
设?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A?（1）求角A的大小；
（2）若a?2，求b?c的最大值． 解：（1）由已知有sinA?cos得 ?6)?cosA.
?6?cosA?sin?6?cosA，????????????1分
31sinA?cosA?cosA，则 sinA?3cosA，??????3分 22tanA?3.????????????????????????4分
又0?A??，故A?（2）（法一）由正弦定理得
?3.????????????????????5分
a?sinB2?sinB4??sinB, ,
?sinA3sin34(sinB?sinC).?????????????????7分 则 b?c?3b?2?31?B)?sinB?(cosB?sinB) 3223331?cosB?3(sinB?cosB)?3sin(B?).?9分 ?sinB?22226而 sinB?sinC?sinB?sin( 则 b?c?4sin(B?又 0?B??6).
2???5?， 所以?B??.???????????10分 3666所以 当且仅当B??6??2，即B??3时，sin(B??62)取得最大值1，11分
故 (b?c)max?4. ??????????????????????12分
（法二）由余弦定理得22?b2?c2?2bccos则 4?(b?c)?3bc，
2?3，即4?b?c?bc， ????7分
2(b?c)2b?c22又 bc?(则 10分 (b?c)?4?3????????10分 )42
得 (b?c)?16， 故 b?c?4，
18．（本小题满分14分）
2
当且仅当b?c时，(b?c)max?4.?? ???????????????12分
在四棱锥P?ABCD中，?ABC??ACD?90?，?BAC??CAD?60?，PA?面
ABCD，E为PD的中点，PA?2AB?4．
（1）求证：PC?AE； （2）求证：CE//面PAB； （3）求三棱锥P?ACE的体积V．
解：（1）证明 取PC中点F，连接AF,EF. ??1分
在Rt?ABC中，AB?2，?BAC?60， 则 BC?23,AC?4． 而 PA?4
B?PEADC则 在等腰三角形APC中 PC?AF. ① ??????2分
又 在?PCD中，PE?ED,PF?FC,
[来源:学科网ZXXK]
第18题图
则 EF∥CD ??????????????????????????3分
因 PA?面ABCD，CD?面ABCD， 则 PA?CD，
又 ?ACD?90，即CD?AC， 则 CD?面PAC，????????4分
?PCD?PC，
所以 EF?PC． ② ??????5分 由①②知 PC?面AEF．
F ABEM
D故 PC?AE．??????????6分 （2）（法一）取AD中点M，连接EM,CM． 则 在?PAD中, EM∥PA. 又 EM?面PAB, PA?面PAB
则 EM∥面PAB, ?????????????????????????7分 在Rt?ACD中，?CAD?60 所以?ACM为正三角形，
则 ?ACM?60 ??????????????????????????8分 又 ?BAC?60 则 MC∥AB.
又 MC?面PAB, AB?面PAB
???C